《2025年实验班提优大考卷七年级数学上册苏科版江苏专用》

28. (12分)中考新考法 操作实践 (1)探究:哪些特殊的角可以用一副三角板画出?
在①$135^{\circ }$;②$120^{\circ }$;③$75^{\circ }$;④$25^{\circ }$中,小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是______④;(填序号)
(2)在探究过程中,爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种. 如图(1),他先用三角板画出了直线EF,然后将一副三角板拼接在一起,其中$45^{\circ }角(∠AOB)的顶点与60^{\circ }角(∠COD)$的顶点互相重合,且边OA,OC都在直线EF上. 如图(2),固定三角板COD不动,将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α,当边OB与射线OF第一次重合时停止.
①当OB平分$∠EOD$时,求旋转角度α;
②是否存在$∠BOC= 2∠AOD$,若存在,求旋转角度α;若不存在,请说明理由.

(2)①因为∠COD=60°,所以∠EOD=180°−∠COD=180°−60°=120°.因为OB平分∠EOD,所以∠EOB=$\frac{1}{2}$∠EOD=$\frac{1}{2}$×120°=60°.因为∠AOB=45°,所以α=∠EOB−∠AOB=60°−45°=15°.②存在α=105°或125°,使得∠BOC=2∠AOD.理由如下:当OA在OD左侧时，∠AOD=120°−α,∠BOC=135°−α.因为∠BOC=2∠AOD,所以135°−α=2(120°−α),解得α=105°.当OA在OD右侧时，∠AOD=α−120°,∠BOC=135°−α.因为∠BOC=2∠AOD,所以135°−α=2(α−120°),解得α=125°.综上所述,存在当α=105°或125°时，使得∠BOC=2∠AOD.

答案：
(1)④
(2)①因为∠COD=60°,所以∠EOD=180°−∠COD=180°−60°=120°.因为OB平分∠EOD,所以∠EOB=$\frac{1}{2}$∠EOD=$\frac{1}{2}$×120°=60°.因为∠AOB=45°,所以α=∠EOB−∠AOB=60°−45°=15°.②存在α=105°或125°,使得∠BOC=2∠AOD.理由如下:当OA在OD左侧时，∠AOD=120°−α,∠BOC=135°−α.因为∠BOC=2∠AOD,所以135°−α=2(120°−α),解得α=105°.当OA在OD右侧时，∠AOD=α−120°,∠BOC=135°−α.因为∠BOC=2∠AOD,所以135°−α=2(α−120°),解得α=125°.综上所述,存在当α=105°或125°时，使得∠BOC=2∠AOD.