《2025年实验班提优大考卷七年级数学上册苏科版江苏专用》

18. 方程思想(2024·上海崇明区期末)定义：从一个角的顶点出发,在角的内部引两条射线,如果这两条射线所成的角等于这个角的一半,那么这两条射线所成的角叫作这个角的内半角,如图(1)所示,若∠COD = $\frac{1}{2}$∠AOB,则∠COD是∠AOB的内半角.
(1)如图(1)所示,已知∠AOB = 70°,∠AOC = 15°,∠COD是∠AOB的内半角,则∠BOD = ______.
(2)如图(2),已知∠AOB = 63°,将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α(0° ＜ α ＜ 63°)至∠COD,当旋转的角度α为何值时,∠COB是∠AOD的内半角?
(3)已知∠AOB = 30°,把一块含有30°角的三角板如图(3)叠放,将三角板绕顶点O以3°每秒的速度按顺时针方向旋转,如图(4),问：在旋转一周的过程中,射线OA,OB,OC,OD能否构成内半角？若能,请求出旋转的时间；若不能,请说明理由.

答案：

(1)20°　[解析]
∵∠COD是∠AOB的内半角,∠AOB = 70°,
∴∠COD = $\frac{1}{2}$∠AOB = 35°.
∵∠AOC = 15°,
∴∠BOD = 70° - 35° - 15° = 20°.
(2)
∵∠AOC = ∠BOD = α,∠AOB = 63°,
∴∠AOD = 63° + α,∠BOC = 63° - α.
∵∠COB是∠AOD的内半角，
∴63° + α = 2(63° - α),
∴α = 21°,
∴当旋转角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角.
(3)能，当旋转的时间为$\frac{10}{3}$s或30s或90s或$\frac{350}{3}$s时，射线OA,OB,OC,OD能构成内半角.理由如下:
　设按顺时针方向旋转一个角度α，旋转的时间为t，
　　如图
(1),
∵∠BOC是∠AOD的内半角,∠AOC = ∠BOD = α,
　　
∴∠AOD = 30° + α,
∴$\frac{1}{2}$(30° + α)=30° - α,
∴α = 10°,
∴t = $\frac{10}{3}$s;
　如图
(2),
∵∠BOC是∠AOD的内半角,∠AOC = ∠BOD = α,
∴∠AOD = 30° + α,
∴$\frac{1}{2}$(30° + α)=α - 30°,
∴α = 90°,
∴t = $\frac{90}{3}$ = 30(s);
　如图
(3),
∵∠AOD是∠BOC的内半角,∠AOC = ∠BOD = 360° - α,
　　　　
∴∠BOC = 360° + 30° - α,
∴$\frac{1}{2}$(360° + 30° - α)=360° - α - 30°,
∴α = 270°,
∴t = $\frac{270}{3}$ = 90(s);
　如图
(4)，
∵∠AOD是∠BOC的内半角,∠AOC = ∠BOD = 360° - α,
∴∠BOC = 360° + 30° - α,
∴$\frac{1}{2}$(360° + 30° - α)=30° - (360° - α),
∴α = 350°,
∴t = $\frac{350}{3}$s.
综上所述，当旋转的时间为$\frac{10}{3}$s或30s或90s或$\frac{350}{3}$s时，射线OA,OB,OC,OD能构成内半角.
归纳总结本题主要考查了角的和与差、图形旋转的性质、一元一次方程的应用，明确题意、理解新定义，并利用方程思想和分类讨论思想解答是解题的关键.