《2025年实验班提优大考卷七年级数学上册苏科版江苏专用》

22.(10分)分类讨论思想 中考新考法 动点问题 (2024·威海中考)[定义]
我们把数轴上表示数$a的点与原点的距离叫作数a$的绝对值.数轴上表示数$a,b的点A,B之间的距离AB= a-b(a≥b)$.特别的,当$a≥0$时,表示数$a的点与原点的距离等于a-0$.当$a＜0$时,表示数$a的点与原点的距离等于0-a$.
[应用]
如图,在数轴上,动点$A$从表示-3的点出发,以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动.同时,动点$B$从表示12的点出发,以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动.

(1)经过多长时间,点$A,B$之间的距离等于3个单位长度?
(2)求点$A,B$到原点距离之和的最小值.

答案：
(1)设经过x秒,点A,B之间的距离等于3个单位长度,则|(-3+x)-(12-2x)|=3,解得x=4或x=6,故经过4秒或6秒,点A,B之间的距离等于3个单位长度.
(2)设经过x秒,点A,B到原点距离之和为y,则y=|-3+x|+|12-2x|,当x≤3时,y=|-3+x|+|12-2x|=3-x+12-2x=-3x+15;当x=3时,y值最小,为6;当3＜x≤6时,y=|-3+x|+|12-2x|=-3+x+12-2x=-x+9;当x=6时,y值最小,为3;当x＞6时,y=|-3+x|+|12-2x|=-3+x-12+2x=3x-15;故当x=6时,y值最小,为3.综上所述,点A,B到原点距离之和的最小值为3.关键提醒 本题考查了一元一次方程的应用、数轴和绝对值,找到相等关系是解题的关键.

23.(10分)已知关于$x的方程(m+3)x^{|m|-2}+6n= 0$为一元一次方程,且该方程的解与关于$x的方程\frac {x+1}{2}-\frac {2x-1}{5}= \frac {1}{2}$的解相同.
(1)求$m,n$的值;
(2)在(1)的条件下,若关于$y的方程|a|y+a= m+1+2ny$无解,求$a$的值.

答案：
(1)
∵关于x的方程$(m+3)x^{|m|-2}+6n=0$是一元一次方程,
∴|m|-2=1,m+3≠0,解得m=3.当m=3时,方程为6x+6n=0,解得x=-n.解方程$\dfrac{x+1}{2}-\dfrac{2x-1}{5}=\dfrac{1}{2}$,得x=-2.由题意,得-n=-2,解得n=2.
(2)把m=3,n=2代入|a|y+a=m+1+2ny,得|a|y+a=4+4y,即(|a|-4)y=4-a.
∵关于y的方程(|a|-4)y=4-a无解,
∴|a|-4=0,4-a≠0,解得a=-4.