《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学苏科版》

18. 中考新考法 新定义问题 对于实数 $ a $、$ b $,定义运算“$ * $”：$ a*b= \begin{cases}a^{2}-ab(a\geqslant b),\\ab-b^{2}(a＜b).\end{cases} $ 例如 $ 4*2 $,因为 $ 4＞2 $,所以 $ 4*2= 4^{2}-4×2= 8 $。若 $ x_{1} $、$ x_{2} $ 是一元二次方程 $ x^{2}-5x+6= 0 $ 的两个根,则 $ x_{1}*x_{2}= $3或-3。

答案： 3或-3

19. 用适当的方法解下列方程：
(1) $ 9x^{2}-16= 0 $；
(2) $ 7x(5x+2)= 6(5x+2) $；
(3) $ 6x-7= x^{2} $；
(4) $ 2x^{2}-5x-7= 0 $。

答案：
(1)x₁=4/3，x₂=-4/3。
(2)x₁=-2/5，x₂=6/7。
(3)x₁=3+√2，x₂=3-√2。
(4)x₁=7/2，x₂=-1。

20. 中考新考法 解题方法型阅读理解题 阅读下列材料：
问题：已知方程 $ x^{2}+x-1= 0 $,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的 $ 2 $ 倍。
解：设所求方程的根为 $ y $,则 $ y= 2x $,
所以 $ x= \frac{y}{2} $,把 $ x= \frac{y}{2} $ 代入已知方程,得 $ (\frac{y}{2})^{2}+\frac{y}{2}-1= 0 $。
化简,得 $ y^{2}+2y-4= 0 $,
故所求方程为 $ y^{2}+2y-4= 0 $,
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”。
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程。(要求：把所求方程化为一般形式)
(1) 已知方程 $ x^{2}+2x-1= 0 $,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为y²-2y-1=0；
(2) 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx+c= 0(a≠0) $ 有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数。
设所求方程的根为y，则y=1/x(x≠0)，于是x=1/y(y≠0)，把x=1/y代入方程ax²+bx+c=0，得a(1/y)²+b(1/y)+c=0，去分母，得a+by+cy²=0，若c=0，有ax²+bx=0，于是，方程ax²+bx+c=0有一个根为0，不合题意，∴c≠0，故所求方程为a+by+cy²=0(c≠0)。

答案：
(1)y²-2y-1=0。
(2)设所求方程的根为y，则y=1/x(x≠0)，于是x=1/y(y≠0)，把x=1/y代入方程ax²+bx+c=0，得a(1/y)²+b(1/y)+c=0，去分母，得a+by+cy²=0，若c=0，有ax²+bx=0，于是，方程ax²+bx+c=0有一个根为0，不合题意，
∴c≠0，故所求方程为a+by+cy²=0(c≠0)。

21. 小林准备进行如下操作实验：把一根长为 $ 40 \mathrm{cm} $ 的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形。
(1) 要使这两个正方形的面积之和等于 $ 58 \mathrm{cm}^{2} $,小林该怎么剪？
(2) 小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于 $ 48 \mathrm{cm}^{2} $。”他的说法对吗？请说明理由。

答案：
(1)要使这两个正方形的面积之和为58cm²，小林该剪较短的这段为12cm，较长的这段为28cm。
(2)设剪成的较短的这段为m cm，较长的这段就为(40-m)cm，由题意，得(m/4)²+((40-m)/4)²=48，变形为m²-40m+416=0，
∵Δ=b²-4ac=(-40)²-4×416=-64＜0，
∴原方程无解。
∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm²。