《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学苏科版》

19. 如图,已知在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle A = 60^{\circ} $,点 $ D $ 是 $ BC $ 的中点,$ CE \perp AB $,$ BF \perp AC $,垂足分别为 $ E $、$ F $,连接 $ DE $、$ DF $、$ EF $.
求证：$ \triangle DEF $ 为等边三角形.

答案：
∵CE⊥AB,BF⊥AC,
∴∠AEC=∠BEC=∠AFB=∠BFC=90°.
∵∠A=60°,
　
∴∠ABF=∠ACE=30°,
∴∠FBC+∠ECB=90°−∠ACE=60°.
∵点D是BC的中点,
　
∴DE=CD=$\frac{1}{2}$BC,DF=BD=$\frac{1}{2}$BC,
　
∴∠DEC=∠DCE,∠DBF=∠DFB,DE=DF.
∵∠BDE=∠DEC+∠DCE=2∠DCE,∠CDF=∠DBF+∠DFB=2∠DBF,
∴∠CDF+∠BDE =2∠DBF+2∠DCE=2×60°=120°,
　
∴∠EDF=60°,
　
∴△DEF为等边三角形.

20. 如图(1),在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,点 $ D $ 是 $ BC $ 的中点,点 $ E $ 在 $ AD $ 上.
(1)求证：$ BE = CE $.
(2)如图(2),如果 $ BE $ 的延长线交 $ AC $ 于点 $ F $,且 $ BF \perp AC $,垂足为 $ F $,$ \angle BAC = 45^{\circ} $,原题设其他条件不变. 求证：$ \triangle AEF \cong \triangle BCF $.

答案：
(1)
∵AB=AC,D是BC的中点,
　
∴∠BAE=∠CAE.
　　在△ABE和△ACE中,$\left\{ \begin{array} { l } { A B = A C , } \\ { \angle B A E = \angle C A E , } \\ { A E = A E , } \end{array} \right.$
　
∴△ABE≌△ACE(SAS).
∴BE=CE.
(2)
∵∠BAC=45°,BF⊥AF,
　
∴△ABF为等腰直角三角形.
∴AF=BF.
　
∵AB=AC,点D是BC的中点,
　
∴AD⊥BC.
∴∠EAF+∠C=90°.
　
∵BF⊥AC,
∴∠CBF+∠C=90°.
　
∴∠EAF=∠CBF.
　　在△AEF和△BCF中,$\left\{ \begin{array} { l } { \angle E A F = \angle C B F , } \\ { A F = B F , } \\ { \angle E F A = \angle C F B , } \end{array} \right.$
　
∴△AEF≌△BCF(ASA).

21. 在 $ \triangle ABC $ 中,已知 $ \angle A = 90^{\circ} $,$ AB = AC $,$ D $ 为 $ BC $ 的中点.
(1)如图,$ E $、$ F $ 分别是 $ AB $、$ AC $ 上的点,且 $ BE = AF $,则 $ \triangle DEF $ 为等腰直角三角形. 请说明理由.
(2)若 $ E $、$ F $ 分别为 $ AB $、$ CA $ 延长线上的点,仍有 $ BE = AF $,其他条件不变,那么 $ \triangle DEF $ 是否仍为等腰直角三角形? 若是,请说明理由.

答案：

(1)理由如下:连接AD.
　
∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,
　
∴AD⊥BC,BD=AD.
　
∴∠B=∠DAB=∠DAC=45°.
　　又BE=AF,
∴△BDE≌△ADF(SAS).
　
∴ED=FD,∠BDE=∠ADF.
　
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF =∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°.
　
∴△DEF是等腰直角三角形.
(2)△DEF仍是等腰直角三角形.理由如下:
　如图，连接AD.
　　　　　　　
　
∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,
　
∴AD=BD,AD⊥BC.
　
∴∠DAC=∠ABD=45°
　
∴∠DAF=∠DBE=135°.
　又AF=BE,
∴△DAF≌△DBE(SAS).
　
∴FD=ED,∠FDA=∠EDB.
　
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB =∠ADB=90°.
　
∴△DEF是等腰直角三角形.