《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学苏科版》

17. 已知$x = 1 - \sqrt{2}$,$y = 1 + \sqrt{2}$,求$x^2 + y^2 - xy - 2x + 2y$的值。

答案：
∵x=1-√2,y=1+√2，
∴x-y=(1-√2)-(1+√2)=-2√2，xy=(1-√2)(1+√2)=-1.
∴x²+y²-xy-2x+2y=(x-y)²-2(x-y)+xy=(-2√2)²-2×(-2√2)+(-1)=7+4√2.

18. 已知$a = 2$,$b = -1$,求$1 + \frac{a^2 - b^2}{a^2 - ab} ÷ \frac{1}{a}$的值。

答案： 原式=1+(a+b)(a-b)/(a(a-b))·a=1+a+b.当a=2,b=-1时，原式=2.

19. 先读懂第(1)小题的解答过程,再解答第(2)小题：
(1)已知$a^2 - 3a + 1 = 0$,求$a^2 + \frac{1}{a^2}$的值；
解：$\because a^2 - 3a + 1 = 0$,$a \neq 0$,
$\therefore a - 3 + \frac{1}{a} = 0$,即$a + \frac{1}{a} = 3$。
$\therefore a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2 = 7$。
(2)已知$y^2 + 3y - 1 = 0$,求$\frac{y^4}{y^8 - 3y^4 + 1}$的值。

答案： 由y²+3y-1=0知，y≠0，
∴y+3-1/y=0，即1/y - y=3.
∴(1/y - y)²=1/y² + y² - 2=9，即1/y² + y²=11.
∴(1/y² + y²)²=121.
∴1/y⁴ + y⁴=119.又(y⁸ - 3y⁴ + 1)/y⁴=y⁴ - 3 + 1/y⁴=116，
∴y⁴/(y⁸ - 3y⁴ + 1)=1/116.

20. 已知$f(x) = \frac{1}{x(x + 1)}$,则$f(1) = \frac{1}{1 × (1 + 1)} = \frac{1}{1 × 2}$,$f(2) = \frac{1}{2 × (2 + 1)} = \frac{1}{2 × 3}$,…,已知$f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n) = \frac{14}{15}$,求$n$的值。

答案：
∵f(x)=1/(x(x+1))=1/x - 1/(x+1)，
∴f
(1)+f
(2)+f
(3)+…+f(n)=1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 +…+1/n - 1/(n+1)=1 - 1/(n+1).
∵f
(1)+f
(2)+f
(3)+…+f(n)=14/15，
∴1 - 1/(n+1)=14/15，解得n=14.经检验，n=14是上述方程的解，故n的值为14.

21. 中考新考法 解题方法型阅读理解题 先阅读下列的解答过程,然后作答：
形如$\sqrt{m \pm 2\sqrt{n}}$的化简,只要我们找到两个数$a$、$b$,使$a + b = m$,$ab = n$,这样$(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 = m$,$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{n}$,那么便有$\sqrt{m \pm 2\sqrt{n}} = \sqrt{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$($a ＞ b$)。
例如：化简$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$。
解：首先把$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}化为\sqrt{7 + 2\sqrt{12}}$,这里$m = 7$,$n = 12$。
由于$4 + 3 = 7$,$4 × 3 = 12$,即$(\sqrt{4})^2 + (\sqrt{3})^2 = 7$,$\sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12}$,
$\therefore \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2\sqrt{12}} = \sqrt{(\sqrt{4} + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}$。
由上述例题的方法化简：
(1)$\sqrt{13 - 2\sqrt{42}}$；
(2)$\sqrt{7 - \sqrt{40}}$；
(3)$\sqrt{2 - \sqrt{3}}$。

答案：
(1)√7 - √6
(2)√5 - √2
(3)(√6 - √2)/2