《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学苏科版》

25. 新情境 农药残留 用水清洗蔬菜上残留的农药,设用$x(x≥1)单位量的水清洗一次后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为\frac {1}{1+x}$. 现有$a(a≥2)$单位的水,可以一次清洗,也可以把水平均分成两份后清洗两次. 试问用哪种方法清洗后蔬菜上残留的农药量较少？说明理由.

答案： 把水平均分成两份后清洗两次，蔬菜上残留的农药量比较少。理由如下：
设清洗前蔬菜上残留的农药量为1，则用 $a$ 单位量的水清洗一次，蔬菜上残留的农药量为 $P = \frac{1}{1 + a}$，
把 $a$ 单位量的水平均分成两份后清洗两次，则蔬菜上残留的农药量为
$Q = \frac{1}{1 + \frac{a}{2}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{a}{2}} = \frac{1}{(1 + \frac{a}{2})^2}$。
$\because (1 + \frac{a}{2})^2 = 1 + a + \frac{a^2}{4} ＞ 1 + a ＞ 0$，
$\therefore \frac{1}{1 + a} ＞ \frac{1}{(1 + \frac{a}{2})^2}$，即 $Q ＜ P$。
故清洗两次残留的农药量比较少。

26. 为保障某种疫苗的接种需求,某生物科技公司开启“加速”模式,生产效率比原先提高了20%,现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天. 问原先每天生产多少万剂疫苗？

答案： 设原先每天生产 $x$ 万剂疫苗。
由题意，得 $\frac{240}{(1 + 20\%)x} + 0.5 = \frac{220}{x}$，
解得 $x = 40$。
经检验，$x = 40$ 是原方程的解。
故原先每天生产40万剂疫苗。
方法诠释
(1) 解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解；
(2) 验根，一定要将解整式方程得到的根代入最简公分母，进行检验，使最简公分母为0的根就是增根，应舍去。

27. 书店老板去图书批发市场购买某种图书,第一次用1200元购买若干本,按每本10元出售,很快售完. 第二次购买时,每本书的进价比第一次提高了20%,他用1500元所购买的数量比第一次多10本.
(1)求第一次购买的图书每本进价多少元.
(2)第二次购买的图书,按每本10元售出200本时,出现滞销,剩下的图书降价后全部售出,要使这两次销售的总利润不低于2100元,每本至多降价多少元？(利润= 销售收入一进价)

答案：
(1) 设第一次购买的图书的单价为 $x$ 元/本，则第二次购买图书的单价为 $1.2x$ 元/本，
根据题意，得 $\frac{1500}{1.2x} - \frac{1200}{x} = 10$，
解得 $x = 5$，
经检验，$x = 5$ 是原分式方程的解，且符合题意。
故第一次购买的图书每本进价为5元。
(2) 第一次购进数量为 $1200 ÷ 5 = 240$（本），第二次购进数量为 $240 + 10 = 250$（本）。
设每本降价 $y$ 元，根据题意，得
$240 × 10 + 200 × 10 + (250 - 200)(10 - y) - 1200 - 1500 \geq 2100$，解得 $y \leq 2$。
故每本至多降价2元。