《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学苏科版》

14. 设A= a+3,B= a^{2}-a+5,则A与B的大小关系是A＜B。(填“＞”“=”或“＜”)

答案： ＜

15. 若$x= 1是一元二次方程x^{2}+ax+b= 0$的一个根,则代数式$a^{2}+b^{2}+2ab$的值是1。

答案： 1

16. 已知关于$x的方程a(x+m)^{2}+b= 0$($a$、$b$、$m$均为常数,且$a\neq0$)的两个解是$x_{1}= 3和x_{2}= 7$,则方程$4a(x+\frac{1}{2}m)^{2}+b= 0$的解是____x=7/2或x=3/2。

答案： x=7/2或x=3/2

17. 分别用下列方法解方程：
(1)$x^{2}+2x-17= 0$；(配方法)
(2)$3x^{2}-10x= -6$。(公式法)

答案：
(1)移项，得x²+2x = 17，配方，得x²+2x + 1 = 17 + 1，即(x + 1)²=18，解得x + 1=±3√2。
∴x₁=3√2-1，x₂=-3√2-1。
(2)将方程化为一般形式3x²-10x + 6 = 0，
∵a = 3，b = -10，c = 6，b²-4ac=(-10)²-4×3×6 = 28＞0，
∴x=10±√28/(2×3)=5±√7/3。
∴x₁=5+√7/3，x₂=5-√7/3。

18. 解关于$x$的方程：$(m-1)x^{2}+2mx+m+3= 0$。

答案： 当m - 1 = 0，即m = 1时，方程为一元一次方程，解得x = -2；当m - 1≠0，即m≠1时，方程为一元二次方程，①当Δ＞0，即4m²-4(m - 1)(m + 3)＞0时，解得m＜3/2，此时x₁=(-m+√(3 - 2m))/(m - 1)，x₂=(-m-√(3 - 2m))/(m - 1)；②当Δ = 0，即m=3/2时，此时x₁=x₂=-3；③当Δ＜0，即m＞3/2时，方程无解。

19. 关于$x的一元二次方程(a+c)x^{2}+2bx+(a-c)= 0$,其中$a$、$b$、$c分别为\triangle ABC$三边的长。
(1)如果方程有两个相等的实数根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由；
(2)如果$\triangle ABC$是等边三角形,试求这个一元二次方程的根。

答案：
(1)
∵方程有两个相等的实数根，
∴(2b)²-4(a + c)(a - c)=0。
∴4b²-4a²+4c²=0，
∴a²=b²+c²。
∴△ABC是直角三角形。
(2)
∵△ABC是等边三角形，
∴a = b = c。
∴(a + c)x²+2bx+(a - c)=0可整理为2ax²+2ax = 0，即x²+x = 0，解得x₁=0，x₂=-1。

20. 中考新考法 新定义问题 如果一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a\neq0)$的两根$x_{1}$、$x_{2}$均为负数,其中$x_{1}＞x_{2}$,且满足$1＜x_{1}-x_{2}＜2$,那么称这个方程为“俏方程”。
(1)方程$x^{2}+5x+6= 0$____“俏方程”(填“是”或“不是”)；
(2)已知关于$x$的方程$x^{2}+mx+2m-4= 0$是“俏方程”,求$m$的取值范围。
(1)不是
(2)2＜m＜3或5＜m＜6

答案：
(1)不是 [解析]解方程x²+5x + 6 = 0，得x₁=-2，x₂=-3，
∴x₁-x₂=1。
∵x₁-x₂=1不满足1＜x₁-x₂＜2，
∴方程x²+5x + 6 = 0不是“俏方程”。
(2)解关于x的方程x²+mx + 2m - 4 = 0，得x=(-m±√(m²-4(2m - 4)))/2=(-m±(m - 4))/2，
∴x=-2或x=-m + 2。①当x₁=-2，x₂=-m + 2时，由{1＜x₁-x₂＜2,x₂＜x₁＜0,得{1＜-2-(-m + 2)＜2,-m + 2＜-2,解得5＜m＜6。②当x₁=-m + 2，x₂=-2时，由{1＜x₁-x₂＜2,x₂＜x₁＜0,得{1＜(-m + 2)-(-2)＜2,-2＜-m + 2＜0.解得2＜m＜3。综上所述，m的取值范围是5＜m＜6或2＜m＜3。