《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学苏科版》

19. 在一条笔直的公路旁依次有$A$、$B$、$C$三个村庄,甲、乙两人同时分别从$A$、$B$两村出发,甲骑摩托车,乙骑电动车沿公路匀速驶向$C$村,最终到达$C$村。设甲、乙两人到$C村的距离y_1$、$y_2(km)与行驶时间x(h)$之间的函数关系如图所示,请回答下列问题：
(1)$A$、$C$两村间的距离为120$km$,$a = $2。
(2)求出图中点$P$的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义。
设y₁=k₁x+120,将(2,0)代入,得2k₁+120=0,解得k₁=-60.所以y₁=-60x+120.设y₂=k₂x+90,将(3,0)代入,得3k₂+90=0,解得k₂=-30.所以y₂=-30x+90.由-60x+120=-30x+90,解得x=1,此时y₁=y₂=60.所以P(1,60),该点表示经过1h甲与乙相遇且距C村60km.
(3)乙在行驶过程中,何时距甲10km？
当y₁-y₂=10时,由-60x+120-(-30x+90)=10,解得$x=\frac{2}{3};$当y₂-y₁=10时,由-30x+90-(-60x+120)=10,解得$x=\frac{4}{3};$当甲走到C地,且乙距离C地10km时,由-30x+90=10,解得$x=\frac{8}{3}.$综上所知,当$x=\frac{2}{3}h$或$x=\frac{4}{3}h$或$x=\frac{8}{3}h$时,乙距甲10km.

答案：
(1)120 2
(2)设y₁=k₁x+120,将(2,0)代入,得
2k₁+120=0,解得k₁=-60.
所以y₁=-60x+120.
设y₂=k₂x+90,将(3,0)代入,得
3k₂+90=0,解得k₂=-30.
所以y₂=-30x+90.
由-60x+120=-30x+90,
解得x=1,此时y₁=y₂=60.
所以P(1,60),该点表示经过1h甲与乙相遇且距C村60km.
(3)当y₁-y₂=10时,
由-60x+120-(-30x+90)=10,
解得$x=\frac{2}{3};$当y₂-y₁=10时,
由-30x+90-(-60x+120)=10,
解得$x=\frac{4}{3};$当甲走到C地,且乙距离C地10km时,
由-30x+90=10,解得$x=\frac{8}{3}.$综上所知,当$x=\frac{2}{3}h$或$x=\frac{4}{3}h$或$x=\frac{8}{3}h$时,乙距甲10km.

20. 中考新考法 满足条件的结论开放 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y = -\frac{4}{3}x + 4与x$轴、$y轴分别交于点A$、$B$,点$D在y$轴的负半轴上,若将$\triangle DAB沿直线AD$折叠,点$B恰好落在x轴的正半轴上的点C$处。
(1)求$AB$的长。
(2)求点$C和点D$的坐标。
(3)在$y轴上是否存在一点P$,使得$S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2}S_{\triangle OCD}$？若存在,直接写出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由。

答案：
(1)在$y=-\frac{4}{3}x+4$中,令x=0,得y=4,
∴B(0,4),即OB=4.
令y=0,得$0=-\frac{4}{3}x+4,$解得x=3,
∴A(3,0),即OA=3.
在Rt△OAB中$,AB=\sqrt{OA²+OB²}=5.(2)$由
(1),知AB=5,则由折叠可知AC=AB=5,
∴OC=OA+AC=3+5=8.
∴C(8,0).
设OD=m,则CD=DB=m+4.
在Rt△OCD中,DC²=OD²+OC²,
即(m+4)²=m²+8²,解得m=6,
∴D(0,-6).
(3)
∵$S_{△PAB}=\frac{1}{2}S_{△OCD},$
∴$S_{△PAB}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×6×8=12.$
∵点P在y轴上,
∴$\frac{1}{2}BP·OA=12,$即$\frac{1}{2}×3BP=12,$解得BP=8.
∴点P的坐标为(0,12)或(0,-4).