《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学苏科版》

25. 中考新考法 解题方法型阅读理解题 小明在学习了“二次根式”后,发现一些含根号的代数式可以写成另一个含根号的代数式的平方,如$3 + 2\sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^2$. 善于思考的小明进行了以下探索：设$a + b\sqrt{2} = (m + n\sqrt{2})^2$(其中$a$、$b$、$m$、$n$均为整数),则有$a + b\sqrt{2} = m^2 + 2mn\sqrt{2} + 2n^2$,$a = m^2 + 2n^2$,$b = 2mn$. 这样小明就找到了把类似$a + b\sqrt{2}$的代数式化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当$a$、$b$、$m$、$n$均为整数时,若$a + b\sqrt{5} = (m + n\sqrt{5})^2$,用含$m$、$n的代数式分别表示a$、$b$,则$a = $$m^{2}+5n^{2}$,$b = $$2mn$；
(2)利用所探索的结论找一组正整数$a$、$b$、$m$、$n$填空：21$+$4$\sqrt{5} = ($1$+$2$\sqrt{5})^2$；
(3)若$a + 6\sqrt{5} = (m + n\sqrt{5})^2$,且$a$、$m$、$n$均为正整数,求$a$的值.
由(1)知，$a = m^{2}+5n^{2},6 = 2mn,\therefore mn = 3$. $\because a$、$m$、$n$均为正整数，$\therefore m = 1,n = 3$或$m = 3,n = 1$. 当$m = 1,n = 3$时，$a = 1^{2}+5×3^{2}=46$；当$m = 3,n = 1$时，$a = 3^{2}+5×1^{2}=14$. 综上所述，$a$的值为 14 或 46.

答案：
(1)$m^{2}+5n^{2}$ $2mn$ [解析]$(m + n\sqrt{5})^{2}=m^{2}+2\sqrt{5}mn + 5n^{2}=a + b\sqrt{5},\therefore a = m^{2}+5n^{2},b = 2mn$.
(2)21 4 1 2(答案不唯一) [解析]由
(1)知，$a = m^{2}+5n^{2},b = 2mn$，令$m = 1,n = 2$，则$a = 1^{2}+5×2^{2}=21,b = 2×1×2 = 4$.
(3)由
(1)知，$a = m^{2}+5n^{2},6 = 2mn,\therefore mn = 3$. $\because a$、$m$、$n$均为正整数，$\therefore m = 1,n = 3$或$m = 3,n = 1$. 当$m = 1,n = 3$时，$a = 1^{2}+5×3^{2}=46$；当$m = 3,n = 1$时，$a = 3^{2}+5×1^{2}=14$. 综上所述，$a$的值为 14 或 46.

26. 中考新考法 归纳一般结论 观察下列各式及验证过程：
$\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}$,验证$\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{1}{2 × 3}} = \sqrt{\frac{2}{2^2 × 3}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}$；
$\sqrt{\frac{1}{2} × (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})} = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{3}{8}}$,验证$\sqrt{\frac{1}{2} × (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})} = \sqrt{\frac{1}{2 × 3 × 4}} = \sqrt{\frac{3}{2 × 3^2 × 4}} = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{3}{8}}$；
$\sqrt{\frac{1}{3} × (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})} = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{4}{15}}$,验证$\sqrt{\frac{1}{3} × (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})} = \sqrt{\frac{1}{3 × 4 × 5}} = \sqrt{\frac{4}{3 × 4^2 × 5}} = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{4}{15}}$；…
(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想,猜想$\sqrt{\frac{1}{4} × (\frac{1}{5} - \frac{1}{6})}$的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律,写出用$n$($n$为任意的自然数,且$n \geq 2$)表示的等式,无需证明.

答案：
(1)$\sqrt{\frac{1}{4}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})}=\frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}}$. 验证：$\sqrt{\frac{1}{4}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})}=\sqrt{\frac{1}{4×5×6}}=\sqrt{\frac{5}{4×5^{2}×6}}=\frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}}$.
(2)$\sqrt{\frac{1}{n - 1}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1})}=\frac{1}{n}\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}$.