《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学苏科版》

19. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$D$、$E$ 分别是 $AB$、$AC$ 的中点,$BE = 2DE$,延长 $DE$ 到点 $F$,使得 $EF = BE$,连接 $CF$。
(1)求证：四边形 $BCFE$ 是菱形；
(2)若 $CE = 4$,$\angle BCF = 120^{\circ}$,求菱形 $BCFE$ 的面积。

答案：
(1)
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE//BC且2DE=BC.
又BE=2DE,EF=BE,
∴EF=BC.
又EF//BC,
∴四边形BCFE是平行四边形.
∵BE=FE,
∴四边形BCFE是菱形.
(2)
∵∠BCF=120°,
∴∠EBC=60°.
∴△EBC是等边三角形.
∴菱形的边长为4，高为2$\sqrt{3}$
∴菱形的面积为4×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$

20. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$F$ 为边 $BC$ 的中点,$DF$ 与对角线 $AC$ 交于点 $M$,过 $M$ 作 $ME \perp CD$ 于点 $E$,$\angle 1 = \angle 2$。
(1)若 $CE = 1$,求 $BC$ 的长；
(2)求证：$AM = DF + ME$。

答案：
(1)BC=2.
(2)延长DF、AB交于点N.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠FCM=∠ECM.
又F为边BC的中点，
∴CF=BF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$CD.
易证CE=ED=$\frac{1}{2}$CD,
∴△CMF≌△CME.
∴MF=ME.
∵AB//CD,
∴∠2=∠N,∠NBF=∠DCF.
又BF=CF,
∴△CDF≌BNF.
∴NF=DF.又∠1=∠2,
∴∠N=∠1.
∴AM=MN=NF+MF=DF+ME.

21. 如图,四边形 $ABCD$ 是正方形,$M$ 是边 $BC$ 上的一点,$E$ 是边 $CD$ 的中点,$AE$ 平分 $\angle DAM$。
(1)求证：$AM = AD + MC$。
(2)$AM = DE + BM$ 是否成立？若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由。

答案：

(1)延长AE、BC交于点N,如图
(1).
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC.
∴∠DAE=∠ENC.
∵AE平分∠DAM,
∴∠DAE=∠MAE.
∴∠ENC=∠MAE.
∴MA=MN.
在△ADE和△NCE中，$\begin{cases}∠DAE = ∠CNE，\\∠AED = ∠NEC，\\DE = CE，\end{cases}$
∴△ADE≌△NCE(AAS).
∴AD=NC.
∴MA=MN=NC+MC=AD+MC.
　　　　　　　　　　　
(2)AM=DE+BM成立.证明如下:
过点A作AF⊥AE,交CB的延长线于点F,如图
(2)所示.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB=AD,AB//DC.
∵AF⊥AE,
∴∠FAE=90°.
∴∠FAB=90°−∠BAE=∠DAE.
在△ABF和△ADE中，$\begin{cases}∠FAB = ∠EAD，\\AB = AD，\\∠ABF = ∠D，\end{cases}$
∴△ABF≌△ADE(ASA).
∴BF=DE,∠F=∠AED.
∵AB//DC,
∴∠AED=∠BAE.
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM,
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM +∠FAB=∠FAM.
∴∠F=∠FAM.
∴AM=FM.
∴AM=FB+BM=DE+BM.