《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学苏科版》

1. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 4\mathrm{cm}$,$BC = 10\mathrm{cm}$,$AE$ 平分 $\angle BAD$,$DF$ 平分 $\angle ADC$,则四边形 $AEFD$ 的面积为(C).

A.$28\mathrm{cm}^2$
B.$26\mathrm{cm}^2$
C.$24\mathrm{cm}^2$
D.$20\mathrm{cm}^2$

答案： C

2. 如图是一张直角三角形的纸片,两直角边 $AC = 6\mathrm{cm}$,$BC = 8\mathrm{cm}$. 现将 $\triangle ABC$ 折叠,使点 $B$ 与点 $A$ 重合,折痕为 $DE$,则 $BE$ 的长为(B).

A.$4\mathrm{cm}$
B.$5\mathrm{cm}$
C.$6\mathrm{cm}$
D.$10\mathrm{cm}$

答案： B

3. 传统文化 赵爽弦图 如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,得到正方形 $ABCD$ 与正方形 $EFGH$. 连接 $EG$,$BD$ 相交于点 $O$,$BD$ 与 $HC$ 相交于点 $P$. 若 $GO = GP$,则 $\frac{S_{\text{正方形}ABCD}}{S_{\text{正方形}EFGH}}$ 的值是(B).
A.$1 + \sqrt{2}$
B.$2 + \sqrt{2}$
C.$5 - \sqrt{2}$
D.$\frac{15}{4}$

答案： B [解析]本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识,证明△BPG≌△BCG(ASA),得出PG=CG.设OG=PG=CG=x,则EG=2x,FG=√2x,由勾股定理得出BC²=(4+2√2)x²,则可得出答案.
∵ 四边形 EFGH 为正方形,
∴ ∠EGH=45°,∠FGH=90°.
∵ OG=GP,
∴ ∠GOP=∠OPG=67.5°.
∴ ∠PBG=22.5°.
又∠DBC=45°,
∴ ∠GBC=22.5°.
∴ ∠PBG=∠GBC.
∵ ∠BGP=∠BGC=90°,BG=BG,
∴ △BPG≌△BCG(ASA).
∴ PG=CG.
设OG=PG=CG=x,
∵ O 为 EG、BD 的交点,
∴ EG=2x,FG=√2x.
∵ 四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
∴ BF=CG=x.
∴ BG=x+√2x.
在Rt△BCG中,
BC²=BG²+CG²=(√2+1)²x²+x²=(4+2√2)x².
∴ S正方形ABCD/S正方形EFGH=(4+2√2)x²/2x²=2+√2.
故选 B.
思路引导 本题考查学生的图形分析能力,借助直角三角形,正方形等图形特点求角,然后利用ASA证明△BPG≌△BCG,得出PG=CG是解题的关键.设OG=PG=CG=x,然后用x分别表示两个正方形的面积,即可得到结论.

4. 如图,在菱形纸片 $ABCD$ 中,$\angle A = 60^{\circ}$. 将纸片折叠,点 $A$、$D$ 分别落在点 $A'$、$D'$ 处,且 $A'D'$ 经过点 $B$,$EF$ 为折痕. 当 $D'F \perp CD$ 时,$\frac{CF}{FD}$ 的值为( A).
A.$\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{6}$
C.$\frac{2\sqrt{3} - 1}{6}$
D.$\frac{\sqrt{3} + 1}{8}$

答案： A

5. 如图,在长方形纸片 $ABCD$ 中,$AB = 12$,$BC = 5$,点 $E$ 在 $AB$ 上,将 $\triangle DAE$ 沿 $DE$ 折叠,使点 $A$ 落在对角线 $BD$ 上的点 $A'$ 处,则 $AE$ 的长为$\frac {10}{3}$.

答案： $\frac {10}{3}$

6. 如图,$OABC$ 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片,$O$ 为原点,点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上,点 $C$ 在 $y$ 轴的正半轴上,$OA = 10$,$OC = 8$,在边 $OC$ 上取一点 $D$,将纸片沿 $AD$ 翻折,使点 $O$ 落在边 $BC$ 上的点 $E$ 处,则点 $D$ 的坐标为$(0,5)$,点 $E$ 的坐标为$(4,8)$.

答案： $(0,5)$ $(4,8)$

7. 如图,在长方形纸片 $ABCD$ 中,$AB = 3$,$AD = 5$,折叠纸片使 $A$ 落在边 $BC$ 上的 $A'$ 处,折痕为 $PQ$,当 $A'$ 在 $BC$ 上移动时,折痕的端点 $P$、$Q$ 也随之移动,若 $A'C$ 的长度为 $3$,则 $BP$ 的长度 = $\frac {5}{6}$.

答案： $\frac {5}{6}$

8. 如图,在等腰三角形 $ABC$ 中,$AB = AC$,$\angle BAC = 50^{\circ}$. $\angle BAC$ 的平分线与 $AB$ 的中垂线交于点 $O$,点 $C$ 沿 $EF$ 折叠后与点 $O$ 重合,则 $\angle CEF$ 的度数是$50^{\circ }$.

答案： $50^{\circ }$