《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学苏科版》

12. 如图(1),在四边形 $OABC$ 中,$OA = a$,$OC = 3$,$BC = 2$,$\angle AOC = \angle BCO = 90^{\circ}$,经过点 $O$ 的直线 $l$ 将四边形分成两部分,直线 $l$ 与 $OC$ 所成的角设为 $\theta$,将四边形 $OABC$ 的直角 $\angle OCB$ 沿直线 $l$ 折叠,点 $C$ 落在点 $D$ 处(如图(1)).
(1) 若折叠后点 $D$ 恰为 $AB$ 的中点(如图(2)),则 $\theta =$$30^{\circ }$；
(2) 若 $\theta = 45^{\circ}$,四边形 $OABC$ 的直角 $\angle OCB$ 沿直线 $l$ 折叠后,点 $B$ 落在四边形 $OABC$ 的边 $AB$ 上的点 $E$ 处(如图(3)),求 $a$ 的值.$a=5.$

答案：
(1)$30^{\circ }$
(2)$a=5.$

13. 如图(1),分别以 $\text{Rt}\triangle ABC$ 的三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用 $S_1$、$S_2$、$S_3$ 表示,则不难说明 $S_1 = S_2 + S_3$.
(1) 如图(2),分别以 $\text{Rt}\triangle ABC$ 三边为一边向外作三个正方形,其面积分别用 $S_1$、$S_2$、$S_3$ 表示,那么 $S_1$、$S_2$、$S_3$ 之间有什么关系？
(2) 如图(3),若分别以 $\text{Rt}\triangle ABC$ 三边为一边向外作三个正三角形,其面积分别用 $S_1$、$S_2$、$S_3$ 表示,试确定 $S_1$、$S_2$、$S_3$ 之间的关系并加以说明.

答案：
(1)分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形,则$S_{1}=S_{2}+S_{3}$,理由如下:在Rt△ABC中,利用勾股定理,得$AB^{2}+AC^{2}+BC^{2},\therefore S_{1}=S_{2}+S_{3}$.
(2)分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正三角形,则$S_{1}=S_{2}+S_{3}$,理由如下:在Rt△ABC中,$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2},\therefore \frac {\sqrt {3}}{4}AB^{2}=\frac {\sqrt {3}}{4}AC^{2}+\frac {\sqrt {3}}{4}BC^{2}$,即$S_{1}=S_{2}+S_{3}.$