《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学苏科版》

19. 如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E、F分别在OD、OC上,且DE= CF,连接DF、AE,AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF。

答案：
∵四边形ABCD是正方形，
∴CO=DO，AO=DO. 又DE=CF，
∴OD-DE=OC-CF，即OF=OE.
在△AOE和△DOF中，
{AO=DO，∠AOE=∠DOF=90°，OE=OF，
∴△AOE≌△DOF(SAS).
∴∠OAE=∠ODF.
∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，
∴∠ODF+∠DEM=90°.
∴∠AMD=90°，即AM⊥DF.

20. 如图,在□ABCD中,点E、F分别在边DC、AB上,DE= BF,把平行四边形沿直线EF折叠,使得点B、C分别落在B'、C'处,线段EC'与线段AF交于点G,连接DG、B'G.求证：
(1)∠1= ∠2；
(2)DG= B'G.

答案：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，
∴∠2=∠FEC.
由折叠，得∠1=∠FEC，
∴∠1=∠2.
(2)
∵∠1=∠2，
∴EG=GF.
∵AB//DC，
∴∠DEG=∠EGF.
由折叠，得EC'//B'F，
∴∠B'FG=∠EGF=∠DEG.
又DE=BF=B'F，
∴△DEG≌△B'FG.
∴DG=B'G.

21. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,过点C的直线MN//AB,D为边AB上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为F,连接CD、BE.
(1)求证：CE= AD.
(2)当D在AB的中点时,四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由。
(3)若D为AB的中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形？请说明你的理由。

答案：
(1)
∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°.
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB.
∴AC//DE.
∵MN//AB，即CE//AD.
∴四边形ADEC是平行四边形.
∴CE=AD.
(2)四边形BECD是菱形. 理由如下：
∵D为AB的中点，
∴AD=BD.
∵CE=AD，
∴BD=CE.
∵BD//CE，
∴四边形BECD是平行四边形.
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=BD.
∴四边形BECD是菱形.
(3)当∠A=45°时，四边形BECD是正方形.
理由如下：
∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°.
∴AC=BC.
∵D为BA的中点，
∴CD⊥AB.
∴∠CDB=90°.
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形.
即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形.