《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学苏科版》

25. 如图(1)所示,在$A$、$B两地之间有汽车站C$站,客车由$A地驶往C$站,货车由$B地驶往A$地。两车同时出发,匀速行驶。图(2)是客车、货车离$C站的路程y_1$、$y_2$(千米)与行驶时间$x$(小时)之间的函数关系图像。
(1)填空：$A$、$B$两地相距420千米。
(2)求两小时后,货车离$C站的路程y_2与行驶时间x$之间的函数表达式。
由图可知,货车的速度为$60÷2 = 30$(千米/小时),货车到达$A$地一共需要$2 + 360÷30 = 14$(小时),设$y_2 = kx + b$,代入点$(2,0)$、$(14,360)$,得$\begin{cases}2k + b = 0,\\14k + b = 360,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 30,\\b = -60.\end{cases}$所以$y_2 = 30x - 60.$
(3)客、货两车何时相遇？
设$y_1 = mx + n$,代入点$(6,0)$、$(0,360)$,得$\begin{cases}6m + n = 0,\\n = 360,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = -60,\\n = 360.\end{cases}$所以$y_1 = -60x + 360.$由$y_1 = y_2$,得$30x - 60 = -60x + 360.$解得$x = \frac{14}{3}.$故客、货两车经过$\frac{14}{3}$小时相遇.

答案：
(1)420
(2)由图可知,货车的速度为
$60÷2 = 30$(千米/小时),
货车到达$A$地一共需要
$2 + 360÷30 = 14$(小时),
设$y_2 = kx + b$,代入点$(2,0)$、$(14,360)$,得
$\begin{cases}2k + b = 0,\\14k + b = 360,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 30,\\b = -60.\end{cases}$
所以$y_2 = 30x - 60$.
(3)设$y_1 = mx + n$,代入点$(6,0)$、$(0,360)$,
得$\begin{cases}6m + n = 0,\\n = 360,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = -60,\\n = 360.\end{cases}$
所以$y_1 = -60x + 360$.
由$y_1 = y_2$,得$30x - 60 = -60x + 360$.
解得$x = \frac{14}{3}$.
故客、货两车经过$\frac{14}{3}$小时相遇.

26. 如图,$\triangle ABC$是边长为6的等边三角形,点$P是边AC$上一动点,由点$A向点C$运动(与$A$、$C$不重合),点$Q是CB$延长线上一动点,与点$P同时以相同的速度由点B向CB$延长线方向运动($Q不与B$重合),过点$P作PE \perp AB于点E$,连接$PQ交AB于点D$。
(1)当$\angle BQD= 30^{\circ}$时,求$AP$的长。
(2)在运动过程中线段$ED$的长是否发生变化？如果不变,求出线段$ED$的长；如果发生改变,请说明理由。

答案：
(1)$AP = 2$.
(2)$DE = 3$为定值,即$DE$的长不变.