《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学苏科版》

22. 中考新考法 归纳一般结论 观察下列等式：$1 × \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}$,$2 × \frac{2}{3} = 2 - \frac{2}{3}$,$3 × \frac{3}{4} = 3 - \frac{3}{4}$,…。
(1)猜想并写出第$n$个等式；
(2)证明你写出的等式的正确性。

答案：
(1)猜想：n×n/(n+1)=n - n/(n+1)；
(2)右边=(n² + n - n)/(n+1)=n²/(n+1)=左边，即n×n/(n+1)=n - n/(n+1).

23. 对于任意正实数$a$、$b$,因为$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$,所以$a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0$。所以$a + b \geq 2\sqrt{ab}$,只有当$a = b$时,等号成立。
结论：在$a + b \geq 2\sqrt{ab}$($a$、$b$均为正实数)中,若$ab为定值p$,则$a + b \geq 2\sqrt{p}$,只有当$a = b$时,$a + b有最小值2\sqrt{p}$。
你能用上面的结论解决下面的问题吗？
(1)某同学在做一个面积为$3600 cm^2$、对角线互相垂直的四边形风筝时,运用上述规律,用来做对角线的竹条至少需要准备多少？
(2)有一架不准确的天平(左臂长为$a cm$,右臂长为$b cm$,$a \neq b$)。某人用它来计量某件重物。先将重物放在左盘,砝码放在右盘,需用$m_1 kg$使天平平衡；然后再将重物放在右盘,砝码放在左盘,需用$m_2 kg$使天平平衡,于是用$Q = \frac{m_1 + m_2}{2} kg$估算重物的实际重量,若重物的实际重量为$P kg$,试比较$P$、$Q$的大小。

答案：
(1)至少需要准备120√2cm.
(2)根据杠杆原理可知aP=bm₁,bP=am₂.两式相乘，得abP²=abm₁m₂.又ab≠0,P＞0，所以P=√(m₁m₂)，而Q=(m₁ + m₂)/2，根据前面的结论知，m₁ + m₂＞2√(m₁m₂)，即(m₁ + m₂)/2＞√(m₁m₂).所以Q＞P.