《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学苏科版》

9. 如图为一直角三角形纸片,两直角边 $AC = 6$,$BC = 8$. 现将直角边 $AC$ 沿直线 $AD$ 折叠,使它落在斜边 $AB$ 上,且与 $AE$ 重合,求 $CD$ 的长.

答案： 设$CD=x.\because ∠C=90^{\circ },AC=6,BC=8,\therefore AB=10.\because AE=AC=6.\therefore BE=4.$在$Rt\triangle DBE$中,$DE=CD=x,DB=8-x,\therefore x^{2}+4^{2}=(8-x)^{2}.\therefore x=3$,即$CD=3.$

10. 已知一张矩形纸片 $ABCD$,$AB = a$,$BC ＞ AB$. 如图,将纸片沿 $EF$ 折叠,使顶点 $A$ 与点 $C$ 重合.
(1) 求证：四边形 $AECF$ 是菱形；
(2) 若折叠后,纸片重叠的两部分面积和为 $2a^2$,求此矩形的周长.

答案：
(1)
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AD//BC.
∴ ∠AFE=∠CEF.
∵ 点 A 与点 C 关于 EF 对称,
∴ EF 垂直平分AC,AF=CF.
∴ ∠AFE=∠CFE.
∴ ∠CEF=∠CFE.
∴ CF=CE.
∴ AF=CE.
∵ AF//CE,
∴ 四边形 AECF 是平行四边形.
∵ AF=CF，
∴ 四边形 AECF 是菱形.
(2)周长为$(6+2\sqrt {3})a.$

11. 如图(1),在矩形 $OABC$ 中,$AB = 8$,$OA = 4$,把矩形 $OABC$ 折叠,使点 $B$ 与点 $O$ 重合,点 $C$ 移到点 $F$ 位置,折痕为 $DE$.
(1) 求 $OD$ 的长；
(2) 请判断 $\triangle OED$ 的形状,并说明理由；
(3) 如图(2),以点 $O$ 为坐标原点,$OC$、$OA$ 所在的直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴,建立直角坐标系,求直线 $DE$ 的函数表达式,并判断点 $B$ 关于 $x$ 轴对称的点 $B'$ 是否在直线 $DE$ 上.

答案：
(1)OD 的长为 5.
(2)△OED是等腰三角形.理由如下:由对折,得∠ODE=∠BDE.
∵ 四边形 OABC 是矩形,
∴ AB//OC.
∴ ∠BDE=∠OED.
∴ ∠ODE=∠OED.
∴ OD=OE.
∴ △OED是等腰三角形.
(3)由
(1),得AD=8-5=3,
∴ D(3,4).由
(2),得OD=OE=5,
∴ E(5,0).设直线 DE 的关系式为$y=kx+b$,则$\left\{\begin{array}{l} 3k+b=4,\\ 5k+b=0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=-2,\\ b=10,\end{array}\right. $
∴ 直线 DE 的表达式为$y=-2x+10.$点 B 关于 x 轴对称的点$B'$的坐标为(8,-4).
∵把$x=8$代入$y=-2x+10$,得$y=-6≠-4,$
∴点$B'$不在直线 DE 上.