《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学下册人教版》

例4 如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y = ax + b$的图象与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象都经过$A(2, - 4)$，$B( - 4,m)$两点.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过$O$，$A$两点的直线与反比例函数图象交于另一点$C$，连接$BC$，求$\triangle ABC$的面积.

答案：
（1）反比例函数的解析式为$y = - \frac{8}{x}$，一次函数的解析式为y = -x - 2. （2）如图，$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADC} + S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2}×4×(2 + 2) + \frac{1}{2}×4×(4 - 2) = 8 + 4 = 12$.

4. 如图，一次函数$y = - \frac{3}{2}x + 1$与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象在第二象限交于点$A$，且点$A$的横坐标为 - 2.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点$B$的坐标是$( - 3,0)$，若点$P$在$y$轴上，且$\triangle AOP$的面积与$\triangle AOB$的面积相等，求点$P$的坐标.

答案： （1）反比例函数的解析式为$y = - \frac{8}{x}$. （2）P(0,6)或(0,-6)