《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学下册人教版》

1. 有下列论断：①顺次连接三角形各边的中点，所得的三角形与原三角形相似；②两边长分别是3，4的Rt△ABC与两边长分别是6，8的Rt△DEF相似；③若两个三角形的边长分别是4，6，8和6，8，10，则这两个三角形相似；④一个三角形的三边长分别为6 cm，9 cm，7.5 cm，另一个三角形的三边长分别为8 cm，12 cm，10 cm，则这两个三角形相似. 其中正确的有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： B

2. 已知△ABC的三边长分别是$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$，2，与△ABC相似的三角形的三边长可能是( )
A. 1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$
B. 1，$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. 1，$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$
D. 1，$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： A

例3如图,在正方形ABCD中,E为边AD的中点,点F在边CD 上,且 CF=3FD ,求证:△ABEADEF.

答案： 证明：$\because 四边形 ABCD 为正方形， \therefore \angle A = \angle D = 90^{\circ},AB = AD = CD， 设 AB = AD = CD = 4a， \because E 为边 AD 的中点，CF = 3FD， \therefore AE = DE = 2a,DF = a， \therefore \frac{AB}{DE}=\frac{4a}{2a}=2,\frac{AE}{DF}=\frac{2a}{a}=2,\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}， 又 \because \angle A = \angle D,\therefore \triangle ABE\sim\triangle DEF. 3. \because AD\cdot AC = AB\cdot AE,\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}， \because \angle DAE = \angle BAC. \therefore \angle DAE - \angle BAE = \angle BAC - \angle BAE， \therefore \angle DAB = \angle EAC,\therefore \triangle DAB\sim\triangle EAC. $

例4 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED = ∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且$\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$.
(1) 求证：△ADF∽△ACG；
(2) 若$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$，求$\frac{AF}{FG}$的值.

分析：(1) 根据三角形内角和为180°，且∠AED = ∠B，∠DAE为公共角，可得∠ADF = ∠C，根据已知条件$\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$，于是得到结论.
(2) 根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AD}{AC}=\frac{AF}{AG}$. 根据已知条件$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$，即可得$\frac{AF}{AG}$的值，从而可得$\frac{AF}{FG}$的值.

答案：
(1) 证明略.
(2)$\frac{AF}{FG}=1$.