《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学下册人教版》

例3 如图，在△ABC中，已知AB = AC，点D，E，B，C在同一条直线上，且AB² = BD·CE，求证：△ABD∽△ECA.

答案：
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB，
∴∠ABD = ∠ACE，
∵AB² = BD·CE，
∴$\frac{AB}{CE}=\frac{BD}{AB}$， 即$\frac{AB}{CE}=\frac{BD}{CA}$，
∴△ABD∽△ECA.

2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(4,0)和点B(0,3)，点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是________.

答案： $(0,\frac{3}{2}),(2,0),(\frac{7}{8},0)$

例4 如图，有一正方形ABCD，边长为$2\sqrt{2}$，点E是边CD上的中点，对角线BD上有一动点F，当顶点为A，B，F的三角形与顶点为D，E，F的三角形相似时，BF的长为________.

答案： 2或$\frac{8}{3}$

3. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12 cm，BC = 5 cm. 点P从点C出发，以2 cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1 cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动.
(1)求经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{5}$?
(2)经过几秒，△PCQ与△ABC相似?

答案：
(1)设经过t秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{5}$，则PC = 2t，BQ = t，CQ = 5 - t，
∴$\frac{1}{2}×2t×(5 - t)=\frac{1}{2}×\frac{1}{5}×12×5$， 整理得t² - 5t + 6 = 0，解得t₁ = 2，t₂ = 3，
∵0 ＜ t ＜ 5，
∴经过2秒或3秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{5}$.
(2)①设经过x秒后△PCQ∽△ACB，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{PC}{CQ}$，
∴$\frac{12}{5}=\frac{2x}{5 - x}$，解得x = $\frac{30}{11}$， ②设经过x秒后△PCQ∽△BCA，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{PC}{CQ}$，
∴$\frac{5}{12}=\frac{2x}{5 - x}$，解得x = $\frac{25}{29}$，
∴经过$\frac{30}{11}$秒或$\frac{25}{29}$秒，△PCQ与△ABC相似.