《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学下册人教版》

例2 如图所示，由位似的正△A₁B₁C₁，正△A₂B₂C₂，正△A₃B₃C₃，…，正△AₙBₙCₙ组成相似图形，其中第一个△A₁B₁C₁的边长为 1，O 是 B₁C₁的中点，A₂是 OA₁的中点，A₃是 OA₂的中点，…，Aₙ是 OAₙ₋₁的中点，顶点 B₂，B₃，…，Bₙ，C₂，C₃，…，Cₙ都在边 B₁C₁上.
(1)试写出△A₁₀B₁₀C₁₀与△A₇B₇C₇的相似比和位似中心；
(2)求出第 n 个三角形△AₙBₙCₙ(n≥2)的周长.

分析：(1)由于 O 是 B₁C₁的中点，A₂是 OA₁的中点，则可得到正△A₂B₂C₂的边长为$\frac{1}{2}$，正△A₃B₃C₃的边长为$(\frac{1}{2})^2$……利用此规律可得第 n 个三角形△AₙBₙCₙ(n≥2)的边长为$(\frac{1}{2})^{n - 1}$，所以正△A₁₀B₁₀C₁₀的边长为$(\frac{1}{2})^9$，正△A₇B₇C₇的边长为$(\frac{1}{2})^6$，然后根据对应边的比等于相似比即可得到△A₁₀B₁₀C₁₀和△A₇B₇C₇的相似比，再根据位似的定义确定位似中心.
(2)利用第 n 个三角形△AₙBₙCₙ(n≥2)的边长为$(\frac{1}{2})^{n - 1}$易得第 n 个三角形△AₙBₙCₙ(n≥2)的周长.

答案：
(1)正△A₁₀B₁₀C₁₀与正△A₇B₇C₇的相似比为1/8，它们的位似中心为点O.
(2)第n个三角形△AₙBₙCₙ(n≥2)的周长为3/(2ⁿ⁻¹).

1. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OEFG 与矩形 ABCD 是位似图形，其中对应点 C 和 F 的坐标分别为( - 4，4)，(2，1)，则位似中心的坐标是( )


A. (0，2)
B. (0，2.5)
C. (0，3)
D. (0，4)

答案： A