《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学下册人教版》

例3 如图，在△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，$\frac{DE}{BC}$ = $\frac{2}{5}$，则sin A的值为( )


A. $\frac{2}{5}$
B. $\frac{\sqrt{21}}{5}$
C. $\frac{\sqrt{21}}{2}$
D. $\frac{3}{5}$

答案： B

3. 如图，AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB//OP，直线PB交直线AC于点D，BD = 2PA.
(1) 求证：直线PB是⊙O的切线；
(2) 探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；
(3) 求sin∠OPA的值.

答案：

(1) 连接 $OB$，如图. $\because BC// OP$，$\therefore \angle BCO=\angle POA$，$\angle CBO=\angle POB$， $\therefore \angle POA=\angle POB$， 又 $\because PO = PO$，$OB = OA$， $\therefore \triangle POB\cong\triangle POA$. $\therefore \angle PBO=\angle PAO = 90^{\circ}$. $\therefore PB$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2) $2PO = 3BC$. $\because \triangle POB\cong\triangle POA$，$\therefore PB = PA$. $\because BD = 2PA$，$\therefore BD = 2PB$. $\because BC// PO$，$\therefore \triangle DBC\sim\triangle DPO$. $\therefore \frac{BC}{PO}=\frac{BD}{PD}=\frac{2}{3}$，$\therefore 2PO = 3BC$.
(3) $\because \triangle DBC\sim\triangle DPO$， $\therefore \frac{DC}{DO}=\frac{BD}{PD}=\frac{2}{3}$， 即 $DC=\frac{2}{3}OD$. $\therefore OC=\frac{1}{3}OD$， $\therefore DC = 2OC$. 设 $OA = x$，$PA = y$. 则 $OD = 3x$，$OB = x$，$BD = 2y$. 在 $Rt\triangle OBD$ 中，由勾股定理得 $(3x)^{2}=x^{2}+(2y)^{2}$，即 $2x^{2}=y^{2}$. $\because x＞0$，$y＞0$，$\therefore y=\sqrt{2}x$，$OP=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{3}x$. $\therefore \sin\angle OPA=\frac{OA}{OP}=\frac{x}{\sqrt{3}x}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

例4 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，M是$\overset{\frown}{CBD}$上任意一点，AH = 2，CH = 4，求sin∠CMD的值.

答案：
如图，连接 $OC$，$OD$. $\because AB\perp CD$，$\therefore \angle CHO = 90^{\circ}$，在 $Rt\triangle COH$ 中，$\because OC = r$，$OH = r - 2$，$CH = 4$，$\therefore r^{2}=4^{2}+(r - 2)^{2}$，$\therefore r = 5$. $\because AB\perp CD$，$AB$ 是直径， $\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AC}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{CD}$，$\therefore \angle AOC=\frac{1}{2}\angle COD$， $\because \angle CMD=\frac{1}{2}\angle COD$，$\therefore \angle CMD=\angle COA$， $\therefore \sin\angle CMD=\sin\angle COA=\frac{CH}{CO}=\frac{4}{5}$.