《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学下册人教版》

例6 如图，⊙O的半径为4，A是⊙O上一点，直线l过点A，P是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD的延长线交直线l于点F，A是$\overset{\frown}{DE}$的中点.
(1)求证：直线l是⊙O的切线；
(2)若PA = 6，求PB的长.

分析：(1)连接DE，OA，证明OA⊥BF即可.
(2)作OH⊥PA于点H，证明△AOH∽△PAB可得$\frac{OA}{PA}=\frac{AH}{PB}$，即可解决问题.

答案：
(1)证明略.
(2)PB = $\frac{9}{2}$.

4. 如图，在△ABC中，AC = BC，∠ACB = 120°，已知△ABC的外接圆圆心为点O，过点A作AF⊥BC，交BC的延长线于点F.
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)点E是⊙O上一点，连接CE交AB于点D，若CD = 4，DE = 5，求BC的长.

答案：

(1)连接OA，OB，如图.

∵四边形ACBE是⊙O的内接四边形，
∴∠ACB + ∠AEB = 180°，
∴∠ACB = 120°，
∴∠AEB = 60°，
∴∠AOB = 2∠AEB = 120°，
∵OA = OB，
∴∠OAB = ∠OBA = 30°，
∵∠ACB = 120°，AC = BC，
∴∠CAB = ∠CBA = 30°，
∴∠OAB = ∠ABC，
∴OA//BC，
∵AF⊥BC，
∴AF⊥OA，
∵OA为半径，
∴AF是⊙O的切线.
(2)BC = 6.