《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学下册人教版》

例6 过平行四边形ABCD的顶点A作任一直线与BD，BC和DC分别交于点E，F，G. 求证：AE² = EF·EG.

答案： 证明：四边形 $ABCD$ 是平行四边形， $\therefore AB// CD,AD// BC$， $\therefore \triangle ADE\sim\triangle FBE,\triangle ABE\sim\triangle GDE$， $\therefore \frac{AE}{EF}=\frac{DE}{BE},\frac{EG}{AE}=\frac{DE}{BE},\therefore \frac{AE}{EF}=\frac{EG}{AE},\therefore AE^{2}=EF\cdot EG$.

5. 如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F，过点E作EG//BC交AB于G，则图中相似三角形有( )


A. 4对
B. 5对
C. 6对
D. 7对

答案： B

6. 阅读下列材料，完成相应的学习任务：
已知角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例. 如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$. 下面是这个定理的部分证明过程.
证明：如图②，过点C作CE//DA，交BA的延长线于点E.
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分.

答案： $\because CE// DA,\therefore \angle 1 = \angle E,\angle DAC = \angle ACE$， $\because AD$ 平分 $\angle BAC,\therefore \angle 1 = \angle DAC$， $\therefore \angle E = \angle ACE,\therefore AC = AE,\because CE// DA$， $\therefore \frac{BD}{DC}=\frac{BA}{AE},\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.