《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学下册人教版》

例3 如图，双曲线$y = \frac{m}{x}$与直线$y = kx + b$交于点$A( - 8,1)$，$B(2, - 4)$，与两坐标轴分别交于点$C$，$D$，已知点$E(1,0)$，连接$AE$，$BE$.
（1）求$m$，$k$，$b$的值；
（2）求$\triangle ABE$的面积；
（3）作直线$ED$，将直线$ED$向上平移$n(n ＞ 0)$个单位长度后，与双曲线$y = \frac{m}{x}$有唯一交点，求$n$的值.

答案： （1）m = -8，$k = - \frac{1}{2}$，b = -3. （2）$S_{\triangle ABE} = S_{\triangle ACE} + S_{\triangle BCE} = \frac{35}{2}$. （3）n的值为3 + $4\sqrt{6}$.

3. 如图，直线$y = kx + b(k,b$为常数$)$与双曲线$y = \frac{m}{x}(m$为常数$)$相交于$A(2,a)$，$B( - 1,2)$两点.
（1）求直线$y = kx + b$的解析式；
（2）在双曲线$y = \frac{m}{x}$上任取两点$M(x_1,y_1)$和$N(x_2,y_2)$，若$x_1 ＜ x_2$，试确定$y_1$和$y_2$的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于$x$的不等式$kx + b ＞ \frac{m}{x}$的解集.

答案： （1）直线y = kx + b的解析式为y = -x + 1. （2）分成两种情形. ①点M，N在双曲线的同一支上，由双曲线$y = - \frac{2}{x}$，在同一支上时y随x的增大而增大，
∴当$x_{1} ＜ x_{2}$时，$y_{1} ＜ y_{2}$. ②点M，N在双曲线的不同的一支上，
∵$x_{1} ＜ x_{2}$，
∴$x_{1} ＜ 0 ＜ x_{2}$.
∴此时由图象可得$y_{1} ＞ 0 ＞ y_{2}$，即此时当$x_{1} ＜ x_{2}$时，$y_{1} ＞ y_{2}$. （3）x ＜ -1或0 ＜ x ＜ 2.