《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学下册人教版》

7. 如图，过□ABCD的顶点A作一条直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延长线于点E，F，G. 求证：EA² = EF·EG.

答案： $\because$ 在 $\square ABCD$ 中，$AB// DC$， $\therefore \triangle AEB\sim\triangle GED,\therefore \frac{EG}{AE}=\frac{DE}{BE}$. $\because$ 在 $\square ABCD$ 中，$AD// BC$， $\therefore \triangle AED\sim\triangle FEB,\therefore \frac{DE}{BE}=\frac{AE}{EF}$， $\therefore \frac{EG}{AE}=\frac{AE}{EF},\therefore AE^{2}=EF\cdot EG$.

例1 如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中的△ABC相似的是( )

分析：根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可.

答案： B

例2 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，点F在BC上，BC = 4BF，那么图中与△ADE相似的三角形是( )

A. △CDF B. △BEF C. △BEF，△DCF D. △BEF，△EDF
分析：设BC = 4a，则BF = a，AE = BE = 2a，CF = 3a，利用勾股定理计算出DE = 2$\sqrt{5}$a，EF = $\sqrt{5}$a，DF = 5a，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似可得.

答案： D