《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学下册人教版》

2. 如图，点$A$在双曲线$y_1 = \frac{2}{x}(x ＞ 0)$上，点$B$在双曲线$y_2 = \frac{k}{x}(x ＜ 0)$上，$AB // x$轴，点$C$是$x$轴上一点，连接$AC$，$BC$. 若$\triangle ABC$的面积是6，则$k$的值为( )


A. - 6
B. - 8
C. - 10
D. - 12

答案： C

例1 如图，在平面直角坐标系中，直线$y = ax + b$与双曲线$y = \frac{k}{x}$相交于$A$，$B$两点，已知$A(2,5)$，$B( - 5,m)$. 求：
（1）一次函数与反比例函数的解析式；
（2）$\triangle OAB$的面积.

答案：
（1）把A(2,5)代入双曲线$y = \frac{k}{x}$，得k = 2×5 = 10，
∴反比例函数的解析式为$y = \frac{10}{x}$. 把B(-5,m)代入$y = \frac{10}{x}$，得$m = \frac{10}{-5}$ = -2，
∴B(-5,-2)， 把A(2,5)，B(-5,-2)代入y = ax + b，得 $\begin{cases}2a + b = 5 \\ -5a + b = -2 \end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1 \\ b = 3 \end{cases}$，
∴一次函数的解析式为y = x + 3.
∴一次函数的解析式为y = x + 3，反比例函数的解析式为$y = \frac{10}{x}$. （2）设直线y = x + 3交y轴于点C，如图.

当x = 0时，y = 3，即C(0,3)，
∴OC = 3，
∴$S_{\triangle AOB} = S_{\triangle BOC} + S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2}×3×5 + \frac{1}{2}×3×2 = \frac{21}{2}$，
∴△OAB的面积为$\frac{21}{2}$.