《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学下册人教版》

1. 如图，在平面直角坐标系中，直线$y = \frac{1}{2}x$与双曲线$y = \frac{k}{x}$交于$A$，$B$两点，且点$A$的坐标为$(4,a)$，将直线$y = \frac{1}{2}x$向上平移$m$个单位长度，交双曲线$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$于点$C$，交$y$轴于点$F$，连接$BF$，$AF$，$\triangle ABC$的面积是$\frac{32}{3}$. 给出以下结论：
①$k = 8$；
②点$B$的坐标是$( - 4, - 2)$；
③$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABF}$；
④$m = \frac{8}{3}$. 其中正确的结论有( )


A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： D

例2 如图，正方形$ABCD$的边长为5，点$A$的坐标为$(4,0)$，点$B$在$y$轴上，若反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$的图象过点$C$，求反比例函数的解析式.

答案：
如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB = BC，∠ABC = 90°，
∴∠ABO + ∠CBE = 90°，
∵∠OAB + ∠ABO = 90°，
∴∠OAB = ∠CBE，
∵点A的坐标为(4,0)，
∴OA = 4，
∵AB = 5，
∴$OB = \sqrt{5^{2} - 4^{2}}$ = 3， 在△ABO和△BCE中， $\begin{cases}∠OAB = ∠CBE \\ ∠AOB = ∠BEC \\ AB = BC \end{cases}$，
∴△ABO≌△BCE，
∴OA = BE = 4，CE = OB = 3，
∴OE = BE - OB = 4 - 3 = 1，
∴点C的坐标为(-3,1)，
∵反比例函数$y = \frac{k}{x}$(k≠0)的图象过点C，
∴k = xy = -3×1 = -3，
∴$y = - \frac{3}{x}$.

2. 如图，点$A$在反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$图象的一支上，点$B$在反比例函数$y = - \frac{k}{2x}$图象的一支上，点$C$，$D$在$x$轴上，若四边形$ABCD$是面积为9的正方形，则实数$k$的值为________.

答案： -6