《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学下册人教版》

3. 规定：sin( - x) = - sin x，cos( - x) = cos x，sin(x + y) = sin x·cos y + cos x·sin y.
据此判断下列等式成立的是__________. (填序号)
①cos( - 60°) = - $\frac{1}{2}$；
②sin 75° = $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$；
③sin 2x = 2 sin x·cos x；
④sin(x - y) = sin x - sin y.

答案： ②③

4. 若sin α ＞ cos α，则锐角α的取值范围是( )
A. 0° ＜ α ＜ 45°
B. 30° ＜ α ＜ 45°
C. 45° ＜ α ＜ 60°
D. 45° ＜ α ＜ 90°

答案： D

例1 (1) 验证下列两组数值的关系：
2sin 30°·cos 30°与sin 60°；
2sin 22.5°·cos 22.5°与sin 45°.
(2) 用一句话概括上面的关系.
(3) 试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立.
(4) 如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式.

答案：
(1) $\because 2\sin30^{\circ}\cdot\cos30^{\circ}=2\times\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. $2\sin22.5^{\circ}\cdot\cos22.5^{\circ}\approx2\times0.38\times0.92\approx0.7$，$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.7$， $\therefore 2\sin30^{\circ}\cdot\cos30^{\circ}=\sin60^{\circ}$，$2\sin22.5^{\circ}\cdot\cos22.5^{\circ}=\sin45^{\circ}$.
(2) 由
(1) 可知，一个角的正弦值与余弦值的积的 2 倍等于该角的 2 倍的正弦值.
(3) $2\sin15^{\circ}\cdot\cos15^{\circ}\approx2\times0.26\times0.97\approx\frac{1}{2}$，$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$； 故结论成立.
(4) $2\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\sin2\alpha$.