《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学下册人教版》

例3 如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,D为BC的中点,DE⊥AB于点E,tan B = $\frac{1}{2}$,AE = 7,求DE的长.

答案： 因为DE⊥AB于E，所以tan B = $\frac{DE}{BE}=\frac{1}{2}$。设DE = x，则BE = 2x，所以BD = $\sqrt{DE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{5}x$，所以cos B = $\frac{BE}{BD}=\frac{2}{\sqrt{5}}$。因为∠C = 90°，所以cos B = $\frac{BC}{AB}=\frac{BE}{BD}=\frac{2}{\sqrt{5}}$。因为D是BC边的中点，所以BC = 2BD = $2\sqrt{5}x$，所以AB = $\frac{\sqrt{5}}{2}BC = 5x$。因为AE = 7，AB = AE + BE，所以5x = 7 + 2x，解得x = $\frac{7}{3}$。

3. 如图,AB为⊙O的直径,且弦CD⊥AB于点E,过点B的切线与AD的延长线交于点F.
(1)若M是AD的中点,连接ME并延长ME交BC于点N,求证:MN⊥BC;
(2)若cos C = $\frac{4}{5}$,DF = 3,求⊙O的半径.

答案：
(1) 证明略.
(2) $\frac{10}{3}$。