《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学下册人教版》

例3 如图,在△ABC中,CD,BE分别是△ABC的边AB,AC上的中线,则$\frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle BCF}}$=( )

A. $\frac{1}{5}$ B. $\frac{1}{4}$ C. $\frac{1}{3}$ D. $\frac{1}{2}$
分析: 根据中位线的性质得DE//BC,DE = $\frac{1}{2}$BC,从而得△DEF∽△CBF,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得结论.

答案： B

例4 如图,在菱形ABCD中,点E在边BC上(不与点B,C重合),连接AE,与BD交于点G.
(1)若AG = BG,AB = 4,BD = 6,求DG的长;
(2)设BC = kBE, △BGE的面积为S, △AGD和四边形CDGE的面积分别为S₁和S₂,把S₁和S₂分别用含k,S的代数式表示;
(3)求$\frac{S_{2}}{S_{1}}$的最大值.

分析:(1) 证明△BAG∽△BDA,利用相似比可计算出BG = $\frac{8}{3}$,从而得到DG的长.
(2) 先证明△ADG∽△EBG,利用相似三角形的性质得$\frac{S_{1}}{S}=(\frac{AD}{BE})^{2}=k^{2},\frac{DG}{BG}=\frac{AD}{BE}=k$,所以S₁ = k²S,根据三角形面积公式得到$S_{\triangle ABC}=\frac{S_{1}}{k}$,再利用菱形的性质得到S₂ = $S_{1}+\frac{S_{1}}{k}-S=k^{2}S + kS - S=(k^{2}+k - 1)S$.
(3) 由于$\frac{S_{2}}{S_{1}}=\frac{k^{2}+k - 1}{k^{2}}=1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k^{2}}$,然后根据二次函数的性质解决问题.

答案： （1）$DG=\frac{10}{3}$。 （2）$S_1 = k^2S$，$S_2=(k^2 + k - 1)S$。 （3）$\frac{S_2}{S_1}$的最大值为$\frac{5}{4}$。