《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学下册人教版》

例2 如图，正比例函数$y = kx(k \neq 0)$与反比例函数$y = \frac{m}{x}(m \neq 0)$的图象交于$A$，$B$两点，点$A$的横坐标为$-4$，点$B$的纵坐标为$-6$.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式$kx ＜ \frac{m}{x}$的解集；
(3)将直线$AB$向上平移$n$个单位，交双曲线于$C$，$D$两点，交坐标轴于点$E$，$F$，连接$OD$，$BD$，若$\triangle OBD$的面积为$20$，求直线$CD$的解析式.

答案：
(1) 反比例函数的解析式为 $y = -\frac{24}{x}$。
(2) $-4 ＜ x ＜ 0$ 或 $x ＞ 4$。
(3) 直线 $CD$ 的解析式为 $y = -\frac{3}{2}x + 10$。

2. 如图，已知一次函数$y = ax + b$与反比例函数$y = \frac{m}{x}(x ＜ 0)$的图象交于$A( - 2,4)$，$B( - 4,2)$两点，且与$x$轴和$y$轴分别交于点$C$，$D$.
(1)根据图象直接写出不等式$\frac{m}{x} ＜ ax + b$的解集；
(2)求反比例函数与一次函数的解析式；
(3)若点$P$在$y$轴上，且$S_{\triangle AOP}=\frac{1}{2}S_{\triangle AOB}$，请求出点$P$的坐标.

答案：
(1) $-4 ＜ x ＜ -2$。
(2) 反比例函数：$y = -\frac{8}{x}$，一次函数：$y = x + 6$。
(3) 点 $P$ 的坐标为 $(0,3)$ 或 $(0,-3)$。

例3 如图，四边形$ABCD$为正方形，点$A$的坐标为$(0,1)$，点$B$的坐标为$(0, - 2)$，反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象经过点$C$，一次函数$y = ax + b$的图象经过$A$，$C$两点.

(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)求反比例函数与一次函数图象的另一个交点$M$的坐标；
(3)若$P$是反比例函数图象上的一点，$\triangle OAP$的面积恰好等于正方形$ABCD$的面积，求点$P$的坐标.
分析：(1)先根据点$A$和点$B$的坐标得到正方形的边长，则$BC = 3$，于是可得到$C(3, - 2)$，然后利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式.
(2)通过解关于反比例函数的解析式与一次函数的解析式所组成的方程组可得到点$M$的坐标.
(3)设$P(t, - \frac{6}{t})$，根据三角形面积公式和正方形面积公式得到$\frac{1}{2} \times 1\times|t| = 3\times 3$，然后解绝对值方程求出$t$即可得到点$P$的坐标.

答案：
(1) 反比例函数解析式为 $y = -\frac{6}{x}$，一次函数解析式为 $y = -x + 1$。
(2) 点 $M$ 的坐标为 $(-2,3)$。
(3) 点 $P$ 的坐标为 $(18,-\frac{1}{3})$ 或 $(-18,\frac{1}{3})$。