《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学下册人教版》

例4 小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图①，图②是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点在地面上，经测量得到AB = CD = 136 cm，OA = OC = 51 cm，OE = OF = 34 cm. 现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF = 32 cm，垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?

答案：
作 $ON\perp EF$于 $N$，$AM\perp BD$于 $M$， 因为 $AB$，$CD$相交于点 $O$，所以 $\angle AOC=\angle BOD$， 因为 $OA = OC$，所以 $\angle OAC=\angle OCA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BOD)$， 同理可证：$\angle OBD=\angle ODB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BOD)$， 所以 $\angle OAC=\angle OBD$，所以 $AC// BD$， 在 $Rt\triangle OEN$中， $ON=\sqrt{OE^{2}-EN^{2}} = 30(cm)$， 同理可证：$EF// BD$， 所以 $\angle ABM=\angle OEN$， 则 $Rt\triangle OEN\sim Rt\triangle ABM$， 所以 $\frac{OE}{AB}=\frac{ON}{AM}$，$AM=\frac{30\times136}{34}=120(cm)$， 所以垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于 $120\ cm$时，连衣裙才不会拖在地面上.

3. 如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河岸垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R. 如果QS = 60 m，ST = 120 m，QR = 80 m，那么河的宽度PQ为( )


A. 40 m
B. 60 m
C. 120 m
D. 180 m

答案： C

4. 现有一边长BC = 120 cm，高AD = 80 cm的三角形木板ABC，按如图所示方法(矩形的顶点P，N分别在边AB，AC上，MQ在边BC上)对三角形木板进行裁剪，要使得矩形MNPQ的面积最大，应如何裁剪?(求出PN的长度即可)

答案： 设 $PN = x\ cm$， 因为 $PN// BC$，所以 $\triangle APN\sim\triangle ABC$， 又因为 $AD\perp BC$，$AE\perp PN$，所以 $\frac{AE}{AD}=\frac{PN}{BC}$，即 $\frac{AE}{80}=\frac{x}{120}$， 所以 $AE = 80-\frac{2}{3}x$，所以 $DE = PQ = 80-\frac{2}{3}x$， 所以 $S_{矩形PQMN}=PQ\times PN=(80 - \frac{2}{3}x)\times x=-\frac{2}{3}(x - 60)^{2}+2400$， 所以当 $x = 60$时，矩形 $MNPQ$的面积最大为 $2400\ cm^{2}$， 即 $PN$的长度为 $60\ cm$时，矩形 $MNPQ$的面积最大.