《2025年节节高大象出版社七年级数学下册华师大版》

18. (12分)乐乐和数学小组的同学研究多边形对角线的相关问题,邀请你也加入其中. 请仔细观察图12中的图形和下面的表格,并回答下列问题.
多边形的顶点数
4
5
6
7
8
…
n
从一个顶点出发的对角线的条数
1
2
3
4
5
…
①______
多边形对角线的总条数
2
5
9
14
20
…
②______
(1)观察探究:请观察上面的图形和表格,并用含n的代数式将表格填写完整,其中①______；②______.
(2)实际应用:数学社团共分为6个小组,每组有3名同学. 同学们约定,大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年. 请问:按照此约定,数学社团的同学们一共将拨打多少个电话?
(3)类比归纳:乐乐认为第(1)(2)问之间存在某种联系,你能找到这两个问题之间的联系吗? 请描述你的发现.

答案：
(1)①n-3；②n(n-3)/2；
(2)135；
(3)每个小组看作多边形顶点，不同组同学通话数相当于多边形对角线总条数×每组人数乘积
解析：
(1)从n顶点出发对角线数为n-3，总条数为n(n-3)/2。
(2)6个小组，每组3人，不同组通话数=C(6,2)×3×3=15×9=135。
(3)将6个小组视为六边形顶点，对角线总条数C(6,2)=15，每组3人，故通话数=15×3×3=135，与多边形对角线总数类比。