《2025年节节高大象出版社七年级数学下册华师大版》

18. (9分)已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}4x + y=5\\3x - 2y=1\end{cases}$和$\begin{cases}ax + by=3\\ax - by=1\end{cases}$有相同的解,求$a^{2}-2ab + b^{2}$的值.

答案： 1，解析：解方程组$\begin{cases}4x + y=5①\\3x - 2y=1②\end{cases}$，①×2 + ②得$11x=11$，$x = 1$，代入①得$y = 1$。将$\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$代入$\begin{cases}ax + by=3\\ax - by=1\end{cases}$得$\begin{cases}a + b=3\\a - b=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}$，则$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}=(2 - 1)^{2}=1$。

19. (9分)善于思考的小明在解方程组$\begin{cases}4x + 10y=6①\\8x + 22y=10②\end{cases}$时,采用了一种“整体代换”的方法,解法如下:
解:将②变形为$2(4x + 10y)+2y=10③$,把①代入③,得$2×6 + 2y=10$,解得$y=-1$.把$y=-1$代入①,得$x=4$.故原方程组的解为$\begin{cases}x=4\\y=-1\end{cases}$.
(1)试用小明的“整体代换”的方法解方程组$\begin{cases}2x - 3y=7①\\6x - 5y=11②\end{cases}$.
(2)已知$x,y,z$满足$\begin{cases}3x - 2z + 12y=47①\\2x + z + 8y=36②\end{cases}$.试求$z$的值.

答案：
(1)$\begin{cases}x=-\frac{1}{4}\\y=-\frac{5}{2}\end{cases}$，解析：②变形为$3(2x - 3y)+4y=11③$，把①代入③得$3×7 + 4y=11$，$21 + 4y=11$，$4y=-10$，$y=-\frac{5}{2}$，代入①得$2x - 3×(-\frac{5}{2})=7$，$2x+\frac{15}{2}=7$，$2x=-\frac{1}{2}$，$x=-\frac{1}{4}$，解为$\begin{cases}x=-\frac{1}{4}\\y=-\frac{5}{2}\end{cases}$。
(2)$z=2$，解析：②×2得$4x + 2z + 16y=72③$，①+③得$7x + 28y=119$，$x + 4y=17$，$x=17 - 4y$，代入②得$2(17 - 4y)+z + 8y=36$，$34 - 8y + z + 8y=36$，$z=2$。