《2025年节节高大象出版社七年级数学下册华师大版》

19. (12分)(2023·淄博)某古镇为发展旅游产业,吸引更多的游客前往游览,助力乡村振兴,决定在五一期间对团队旅游实行门票特价优惠活动,价格如下表:
| 购票人数$ m $/人 | $ 10\leq m\leq 50 $ | $ 51\leq m\leq 100 $ | $ m＞100 $ |
|---------------------|-----------------------|------------------------|-------------|
| 每人门票价/元 | 60 | 50 | 40 |
注:题中的团队人数均不少于10人.
现有甲、乙两个团队共102人,计划利用五一假期到该古镇旅游,其中甲团队不足50人,乙团队多于50人.
(1)如果两个团队分别购票,一共应付5580元,则甲、乙团队各有多少人?
(2)如果两个团队联合起来作为一个大团队购票,比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元,则甲团队最少有多少人?

答案：
(1)设甲团队有$ x $人，乙团队有$ y $人，根据题意得：
$\begin{cases}x + y = 102 \\60x + 50y = 5580\end{cases}$
由$ x + y = 102 $得$ y = 102 - x $，代入$ 60x + 50y = 5580 $：
$60x + 50(102 - x) = 5580$
$60x + 5100 - 50x = 5580$
$10x = 480 \implies x = 48$
则$ y = 102 - 48 = 54 $
答：甲团队有48人，乙团队有54人.
(2)设甲团队有$ x $人，则乙团队有$ 102 - x $人，联合购票费用为$ 102 × 40 = 4080 $元.
各自购票费用为$ 60x + 50(102 - x) $，节省费用为：
$[60x + 50(102 - x)] - 4080 \geq 1200$
化简得：
$60x + 5100 - 50x - 4080 \geq 1200$
$10x + 1020 \geq 1200$
$10x \geq 180 \implies x \geq 18$
又甲团队不足50人且不少于10人，所以甲团队最少有18人.
答：甲团队最少有18人.