《2025年节节高大象出版社七年级数学下册华师大版》

22. (10分)若两个角的差的绝对值等于$90^\circ$,则称这两个角互为“垂角”.例如:$\angle1 = 120^\circ$,$\angle2 = 30^\circ$,$|\angle1 - \angle2| = 90^\circ$,则$\angle1$与$\angle2$互为“垂角”.(本题中所有角都是指大于$0^\circ$且小于$180^\circ$的角)
(1)已知一个角比它的“垂角”的$\frac{1}{2}$少$20^\circ$,求这个角的度数.
(2)如图3,$\angle AOB = 120^\circ$,$\angle BOC = 45^\circ$,是否存在射线OD,使得$\angle AOD$与$\angle COD$互为“垂角”? 若存在,直接写出$\angle BOD$的度数;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)设这个角$x$，其垂角$y$，$|x - y| = 90^\circ$，$x = \frac{1}{2}y - 20^\circ$，
若$y - x = 90^\circ$，则$y = x + 90^\circ$，代入得$x = 50^\circ$；若$x - y = 90^\circ$，无解，
答：这个角$50^\circ$。
(2)存在，$\angle BOD = 15^\circ$或$105^\circ$

23. (10分)某校组织七年级380名学生到毛泽东纪念馆开展研学活动.已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生130人,用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人.
(1)每辆小客车和每辆大客车各能运送多少名学生?
(2)若计划租用小客车$m$辆、大客车$n$辆,一次送完且恰好每辆车都坐满.
①请你设计出所有的租车方案;
②若小客车每辆租金为200元,大客车每辆租金为300元,请选出最省钱的租车方案,并求出最少租金.

答案：
(1)设小客车$x$人，大客车$y$人，
$\begin{cases}3x + y = 130\\x + 2y = 110\end{cases}$，解得$x = 30$，$y = 40$
答：小客车30人，大客车40人。
(2)①$30m + 40n = 380$，$m = \frac{38 - 4n}{3}$，
方案：$\begin{cases}m = 10\\n = 2\end{cases}$，$\begin{cases}m = 6\\n = 5\end{cases}$，$\begin{cases}m = 2\\n = 8\end{cases}$
②租金：10×200 + 2×300 = 2600元，最省，
答：方案10小2大，租金2600元。