《2025年课时练作业与测评九年级数学上册冀教版》

24. 探究性试题（12分）如图C-27-14，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且 $ OA = 4 $，$ OB = 2 $，反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 在第一象限的图像经过正方形的顶点C。
（1）求点C的坐标和反比例函数的表达式。
（2）若点N为直线OD上的一动点（不与点O重合），在y轴上是否存在点M，使以点A，M，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

答案：
24.解：
(1)如图D - 27 - 6
(1)，作$CE\perp x$轴，垂足为$E$，
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB = BC$，$\angle ABC = 90^{\circ}$.
∵$\angle OAB + \angle OBA = 90^{\circ}$，$\angle OBA + \angle EBC = 90^{\circ}$，
∴$\angle OAB = \angle EBC$.
在$\triangle AOB$和$\triangle BEC$中，$\begin{cases} \angle OAB = \angle EBC\\\angle AOB = \angle BEC = 90^{\circ}\\AB = BC\end{cases}$，
∴$\triangle AOB \cong \triangle BEC(AAS)$，
∴$AO = BE = 4$，$OB = CE = 2$，
∴$OE = OB + BE = 2 + 4 = 6$，
∴$C(6,2)$.
∵$C(6,2)$在反比例函数图像上，
∴$k = 6 × 2 = 12$，
∴反比例函数的表达式为$y = \frac{12}{x}$.

(2)在$y$轴上存在点$M$，使以点$A$，$M$，$C$，$N$为顶点的四边形是平行四边形.
当点$N$在$x$轴上方时，如图D - 27 - 6
(2)，同
(1)中求点$C$的坐标，可得点$D$的坐标为$(4,6)$，设直线$OD$的表达式为$y = kx$，代入点$D$的坐标得$6 = 4k$，解得$k = \frac{3}{2}$，
∴直线$OD$的表达式为$y = \frac{3}{2}x$.
当$AC$为平行四边形的对角线时，在$y = \frac{3}{2}x$中，令$x = 6$，得$y = 9$，
∴$N(6,9)$，
∴$NC = 9 - 2 = 7$.
∵$AMCN$是平行四边形，
∴$AM = 7$.
∵$OA = 4$，
∴$OM = 3$，
∴$M(0,-3)$.
当$AC$为平行四边形的边时，$AM = NC = 7$，此时点$M$的坐标为$(0,11)$.
当点$N$在$x$轴下方时，$M(0,-11)$.
综上所述，符合条件的点$M$有$3$个，坐标为$(0,-3)$或$(0,11)$或$(0,-11)$.