《2025年课时练作业与测评九年级数学上册冀教版》

1. 若$x_{1}$，$x_{2}$是一元二次方程$2x^{2}-5x+3 = 0$的两根，则$x_{1}+x_{2}$与$x_{1}· x_{2}$的值分别是( )

A.$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$
B.$-\frac{5}{2}$，$-\frac{3}{2}$
C.$-\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$
D.$-\frac{5}{4}$，$\frac{3}{2}$

答案： 1.A

2. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+(k+3)x+2 = 0$的一个根是$-2$，则另一个根是( )

A.$2$
B.$1$
C.$-1$
D.$0$

答案： 2.C

3. 如果关于$x$的一元二次方程$x^{2}+px+q = 0$的两根分别为$x_{1} = 2$，$x_{2} = -1$，那么$p$，$q$的值分别是( )

A.$1$，$-2$
B.$-1$，$-2$
C.$-1$，$2$
D.$1$，$2$

答案： 3.B

4. 已知关于$x$的方程$x^{2}+x+n = 0$的两个实数根分别为$-2$，$m$，求$m$，$n$的值.

答案： 4.解：
∵关于x的方程$x^{2}+x+n = 0$的两个实数根分别为-2，$m$，
∴$\begin{cases}-2m = n,\\-2 + m = -1,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 1,\\n = -2,\end{cases}$
即$m$，$n$的值分别是1，-2.

5. 若方程$x^{2}-(m+6)x+m^{2} = 0$有两个相等的实数根，且满足$x_{1}+x_{2}=x_{1}x_{2}$，则$m$的值是( )

A.$-2$或$3$
B.$3$
C.$-2$
D.$-3$或$2$

答案： 5.C

6. 设$x_{1}$，$x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-2x-3 = 0$的两根，则$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=$( )

A.$6$
B.$8$
C.$10$
D.$12$

答案： 6.C

7. 若关于$x$的方程$x^{2}+(k-2)x+k^{2} = 0$的两根互为倒数，则$k =$____.

答案： 7.-1

8. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4x+m = 0$.
(1) 若方程有实数根，求实数$m$的取值范围.
(2) 若方程的两实数根分别为$x_{1}$，$x_{2}$，且满足$5x_{1}+2x_{2} = 2$，求实数$m$的值.

答案： 8.解：
(1)
∵方程$x^{2}-4x + m = 0$有实数根，
∴$\Delta = b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4m\geqslant0$，
∴$m\leqslant4$.
(2)
∵方程$x^{2}-4x + m = 0$的两实数根分别为$x_{1}$，$x_{2}$，
∴$x_{1}+x_{2}=4$.①
又
∵$5x_{1}+2x_{2}=2$，②
∴联立①②，解得$\begin{cases}x_{1} = -2,\\x_{2} = 6.\end{cases}$
∴$m = x_{1}· x_{2}=-2×6 = -12$.

9. 情境题 如图 24-3-1，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分为四边形$ABCD$，其对角线$AC$，$BD$的长度是关于$x$的一元二次方程$x^{2}+px+q = 0$的两个实数根，则四边形$ABCD$的面积可以表示为____.

答案： 9.$\frac{q}{2}$

10. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2(m+1)x+m^{2}-1 = 0$.
(1) 若方程有实数根，求实数$m$的取值范围.
(2) 若方程的两实数根分别为$x_{1}$，$x_{2}$，且满足$(x_{1}-x_{2})^{2} = 16-x_{1}x_{2}$，求实数$m$的值.

答案： 10.解：
(1)由题意，得$\Delta = [2(m + 1)]^{2}-4(m^{2}-1)\geqslant0$，
整理，得$8m + 8\geqslant0$，解得$m\geqslant -1$，
∴实数$m$的取值范围是$m\geqslant -1$.
(2)由根与系数的关系，得$x_{1}+x_{2}=-2(m + 1)$，$x_{1}x_{2}=m^{2}-1$.
∵$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}$，
∴$(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=16 - x_{1}x_{2}$，
∴$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}-16 = 0$，
∴$[-2(m + 1)]^{2}-3(m^{2}-1)-16 = 0$，
∴$m^{2}+8m - 9 = 0$，解得$m = -9$或$m = 1$.
∵$m\geqslant -1$，
∴$m = 1$.