《2025年课时练作业与测评九年级数学上册冀教版》

8. 如图25-7-12，△ABC与△DEF是位似图形，点A(-1,2)和点D(2,-4)是对应点，则△ABC内的点P(m,n)的对应点P'的坐标为( )

A.(2m,2n)
B.(-2m,-2n)
C.(2m,-2n)
D.(-2m,2n)

答案： 8.B

9. 如图25-7-13，△ADC是由等腰直角△EOG经过位似变换得到的，位似中心在x轴的正半轴上，已知EO=1，D点坐标为(2,0)，相似比为1:2，则两个三角形的位似中心P点的坐标是( )

A.$(\frac{2}{3},0)$
B.(1,0)
C.(0,0)
D.$(\frac{1}{3},0)$

答案： 9.A

10. 如图25-7-14，直线$y=\frac{1}{3}x+1$与x轴，y轴分别交于A，B两点，△BOC与△B'O'C'是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1:2，则点B'的坐标为______。

答案： 10.(3,2)或(-9,-2)

11. 新定义试题 平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称。例如：如图25-7-15(1)，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE，再将△ADE沿过点A的直线l翻折，得到△AFG，则△ABC和△AFG成自位似轴对称。
(1)如图25-7-15(2)，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC，CD⊥AB，垂足为D。下列3对三角形：①△ABC和△ACD；②△BAC和△BCD；③△DAC和△DCB。其中成自位似轴对称的是______。(填写所有符合要求的序号)
(2)在(1)答案最大序号图形中，AC=3，BC=4，设自位似轴对称变换的对称轴与CD交于点E，求CE。
(3)如图25-7-15(3)，在△ABC中，D是BC的中点，E为△ABC内一点，∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAD，连接DE，求证：DE//AC。

答案：
11.
(1)解:①②
(2)解:如图D-25-8
(1),由题可知,△BCD≌△BC'D',
BE为对称轴所在直线，
∴∠CD'C' = 90°.
∵∠ECD'是公共角,CD⊥AB,
∴∠CDB = ∠CD'C' = 90°,
∴△CD'E∽△CDB,
∴$\frac{CE}{BC}$ = $\frac{CD'}{CD}$.
∵AC = 3,BC = 4,∠ACB = 90°,
∴AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$ = $\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ = 5.
∵$S_{△ABC}$ = $\frac{1}{2}$AC·BC = $\frac{1}{2}$AB·CD,
∴CD = $\frac{12}{5}$,
∴BD = $\sqrt{BC^{2}-CD^{2}}$ = $\sqrt{4^{2}-(\frac{12}{5})^{2}}$ = $\frac{16}{5}$ = BD',
∴CD' = BC - BD' = 4 - $\frac{16}{5}$ = $\frac{4}{5}$,
∴$\frac{CE}{4}$ = $\frac{\frac{4}{5}}{\frac{12}{5}}$,解得CE = $\frac{4}{3}$.

(3)证明:如图D-25-8
(2),延长BE交AC于点F.
∵∠ABE = ∠C,∠BAE = ∠CAD,
∴△ABE∽△ACD,
∴$\frac{BE}{CD}$ = $\frac{AE}{AD}$.
∵∠BAE = ∠CAD,
∴∠BAE + ∠DAE = ∠CAD + ∠DAE,
∴∠BAD = ∠FAE.
∵∠AEF = ∠ABE + ∠BAE,∠ADB = ∠CAD + ∠C,
∴∠AEF = ∠ADB,
∴△EAF∽△DAB,
∴$\frac{EF}{BD}$ = $\frac{AE}{AD}$,
∴$\frac{BE}{CD}$ = $\frac{EF}{BD}$.
∵点D是BC的中点，
∴CD = BD,
∴BE = EF,
∴DE为△BFC的中位线,
∴DE//AC.