《2025年课时练作业与测评九年级数学上册冀教版》

14. 计算：$\frac{1}{\tan 30^{\circ}} - \sin 60^{\circ} + \frac{2}{2\cos 30^{\circ} - \tan 45^{\circ}}$。

答案： 14.解：原式$=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2}{2 × \frac{\sqrt{3}}{2}-1}$
$=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2}{\sqrt{3}-1}$
$=\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}+1$
$=\frac{3\sqrt{3}}{2}+1.$

15. 计算：$4\sin 60^{\circ} - 6\cos 60^{\circ} \tan 30^{\circ} + \sin^{2}45^{\circ}$。

答案： 15.解：$4\sin 60^{\circ}-6\cos 60^{\circ}\tan 30^{\circ}+\sin^{2}45^{\circ}$
$=4 × \frac{\sqrt{3}}{2}-6 × \frac{1}{2} × \frac{\sqrt{3}}{3}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}$
$=2\sqrt{3}-\sqrt{3}+\frac{1}{2}$
$=\sqrt{3}+\frac{1}{2}.$

16. 在 $\triangle ABC$ 中，若 $\vert \sin A - \frac{\sqrt{2}}{2} \vert + (\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos B)^{2} = 0$，$\angle A$，$\angle B$ 都是锐角，则 $\angle C$ 的度数是( )

A.$75^{\circ}$
B.$90^{\circ}$
C.$105^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

答案： 16.C

17. $\triangle ABC$ 在网格中的位置如图 26 - 1 - 12 所示(每个小正方形的边长为 $1$)，$AD \perp BC$ 于 $D$，下列四个选项中，错误的是( )

A.$\sin \alpha = \cos \alpha$
B.$\tan C = 2$
C.$\sin \beta = \cos \beta$
D.$\tan \alpha = 1$

答案： 17.C

18. 因为 $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$，$\cos 240^{\circ} = - \frac{1}{2}$，所以 $\cos 240^{\circ} = \cos (180^{\circ} + 60^{\circ}) = - \cos 60^{\circ}$。由此猜想、推理知：当 $\alpha$ 为锐角时有 $\cos (180^{\circ} + \alpha) = - \cos \alpha$。由此可知：$\cos 210^{\circ} =$( )

A.$- \frac{1}{2}$
B.$- \frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$- \frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$- \sqrt{3}$

答案： 18.C

19. 如图 26 - 1 - 13，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$M$ 是直角边 $AC$ 上一点，$MN \perp AB$ 于点 $N$，$AN = 3$，$AM = 4$，求 $\cos B$ 的值。

答案： 19.解：
∵∠C = 90°,MN⊥AB,
∴∠C=∠ANM = 90°.
又
∵∠A=∠A,
∴△AMN∽△ABC.
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AN}{AM}=\frac{3}{4}.$
设AC = 3x,AB = 4x,
由勾股定理,得$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{7}x.$
在Rt△ABC中$,\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{7}x}{4x}=\frac{\sqrt{7}}{4}.$

20. 一般地，当 $\alpha$，$\beta$ 为任意角时，$\sin (\alpha + \beta)$ 与 $\sin (\alpha - \beta)$ 的值可以用下面的公式求得：
$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$；
$\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$。
例如 $\sin 15^{\circ} = \sin (60^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin 60^{\circ} \cos 45^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$。
类似地，可以求得 $\sin 75^{\circ}$ 的值是______。

答案： $20.\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

21. 已知 $a$，$b$，$c$ 是 $\triangle ABC$ 的三边，$a$，$b$，$c$ 满足等式 $b^{2} = (c + a)(c - a)$，且 $5b - 4c = 0$，求 $\sin A + \sin B$ 的值。

答案： 21.解：
∵$b^{2}=(c + a)(c - a),$
∴$b^{2}=c^{2}-a^{2},$即$a^{2}+b^{2}=c^{2},$
∴△ABC是以c为斜边的直角三角形.
∵5b - 4c = 0,
∴$\frac{b}{c}=\frac{4}{5}.$
设b = 4k,则c = 5k,
∴在Rt△ABC中,根据勾股定理,得a = 3k.
∴$\sin A+\sin B=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{3k}{5k}+\frac{4k}{5k}=\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=\frac{7}{5}.$