《2025年课时练作业与测评九年级数学上册冀教版》

21. （9分）如图C-26-13所示，一座钢结构桥梁的框架是$\triangle ABC$，水平横梁$BC$长$18\ \mathrm{m}$，中柱$AD$高$6\ \mathrm{m}$，其中$D$是$BC$的中点，且$AD \perp BC$。
（1）求$\sin B$的值。
（2）现需要加装支架$DE$，$EF$，其中点$E$在$AB$上，$BE = 2AE$，且$EF \perp BC$，垂足为$F$，求支架$DE$的长。

答案： 21.解：
(1)在Rt△ABD中，
∵BD = DC = 9m，AD = 6m
∴AB = $\sqrt{BD^{2} + AD^{2}} = \sqrt{9^{2} + 6^{2}} = 3\sqrt{13}$(m)
∴$\sinB = \frac{AD}{AB} = \frac{6}{3\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$
(2)由题意，得EF//AD，BE = 2AE
∴$\frac{EF}{AD} = \frac{BF}{BD} = \frac{BE}{BA} = \frac{2}{3}$
∴$\frac{EF}{6} = \frac{BF}{9} = \frac{2}{3}$
∴EF = 4m，BF = 6m，
∴DF = 3m.
在Rt△DEF中，DE = $\sqrt{EF^{2} + DF^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$(m).

22. （9分）阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边长与腰长的比叫做顶角正对（$\mathrm{sad}$）。如图C-26-14（1），在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，顶角$A$的正对记作“$\mathrm{sad}\ A$”，这时$\mathrm{sad}\ A =$底边长$÷$腰长$= \frac{CB}{BA}$。容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的。根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）如图C-26-14（2），利用等腰直角三角形计算：$\mathrm{sad}\ 90^{\circ}$的值。
（2）如图C-26-14（3），在等腰$\triangle ABC$中，$AB = AC = 5$，若$\sin A = \frac{4}{5}$，求$\mathrm{sad}\ A$。

答案：
22.解：
(1)
∵△ABC是等腰直角三角形
∴AB = $\sqrt{2}$AC
∴$\sinC = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{2}AC}{AC} = \sqrt{2}$
∴$\sin90° = \sqrt{2}$.
(2)如图D - 26 - 10，过点B作AC的垂线，垂足为M
∵AB = 5，$\sinA = \frac{4}{5}$
∴$\frac{BM}{AB} = \frac{4}{5}$，
∴BM = 4.
在Rt△ABM中，
AM = $\sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3$
∴CM = 5 - 3 = 2.
在Rt△BCM中，BC = $\sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{5}$.
∴$\sinA = \frac{BC}{AB} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$