《2025年课时练作业与测评九年级数学上册冀教版》

11. 解方程.
(1)$x^{2}+4x - 1 = 0$；
(2)$2x^{2}-4x + 1 = 0$.

答案： 11.解：
(1)$x^2 + 4x - 1 = 0$，$x^2 + 4x + 4 = 1 + 4$，
$(x + 2)^2 = 5$，$x = \pm \sqrt{5} - 2$，$x_1 = \sqrt{5} - 2$，$x_2 = -\sqrt{5} - 2$。
(2)$2x^2 - 4x + 1 = 0$，$x^2 - 2x + \frac{1}{2} = 0$，$x^2 - 2x + 1 = -\frac{1}{2} + 1$，
$(x - 1)^2 = \frac{1}{2}$，$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$，$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$，
$x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$，$x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$。

12. 若关于$x$的一元二次方程$(x - 2)^{2} = m$有实数解，则$m$的取值范围是( )

A.$m\leqslant0$
B.$m＞0$
C.$m\geqslant0$
D.无法确定

答案： 12.C

13. 将一元二次方程$x^{2}+2\sqrt{2}x + 1 = 0$左边配方成完全平方式之后，右边的常数应该是( )

A.$2$
B.$1$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$

答案： 13.B

14. 已知等腰三角形的一边长为$8$，另一边长为方程$x^{2}-6x + 9 = 0$的根，则该等腰三角形的周长为( )

A.$14$
B.$19$
C.$14$或$19$
D.不能确定

答案： 14.B

15. 把一元二次方程$x^{2}-4x + 3 = 0$配方成$(x + a)^{2} = b$的形式，则$a + b =$______.

答案： 15.-1

16. 新定义试题 在实数范围内定义一种运算“$*$”，其规则为$a*b = a^{2}-b^{2}$，根据这个规则，方程$(x + 1)*3 = 0$的解为__________.

答案： 16.$x_1 = 2$，$x_2 = -4$

17. 小明同学用配方法解方程$6x^{2}-x - 1 = 0$的简要步骤如下：
解：$6x^{2}-x - 1 = 0$ $\xrightarrow[第一步]{两边同除以6}$ $x^{2}-\dfrac{1}{6}x-\dfrac{1}{6}=0$ $\xrightarrow[第二步]{移项}$ $x^{2}-\dfrac{1}{6}x=\dfrac{1}{6}$ $\xrightarrow[第三步]{配方}$ $\left(x - \dfrac{1}{3}\right)^{2}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{9}$ $\xrightarrow[第四步]{两边开平方}$ $x - \dfrac{1}{3}=\pm\sqrt{\dfrac{5}{18}}$ $\xrightarrow[第五步]{移项}$ $x_{1}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{10}}{6}$，$x_{2}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{10}}{6}$.
(1)上述步骤中，开始出现错误的是( )
A. 第二步
B. 第三步
C. 第四步
D. 第一步
(2)写出上述步骤中开始出现错误的原因，并尝试写出解方程$6x^{2}-x - 1 = 0$的正确步骤.

答案： 17.解：
(1)B
(2)开始出现错误的原因是等式的两边加上的数不是“一次项系数一半的平方”。
其正确的解题步骤如下：
$6x^2 - x - 1 = 0$，$x^2 - \frac{1}{6}x - \frac{1}{6} = 0$，$x^2 - \frac{1}{6}x = \frac{1}{6}$，
$x^2 - \frac{1}{6}x + (\frac{1}{12})^2 = \frac{1}{6} + (\frac{1}{12})^2$，$(x - \frac{1}{12})^2 = (\frac{5}{12})^2$，
$x - \frac{1}{12} = \pm \frac{5}{12}$，$x = \frac{1}{12} \pm \frac{5}{12}$，$x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = -\frac{1}{3}$。

18. 新知探索 小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程$x^{2}=-1$时，突发奇想：$x^{2}=-1$在实数范围内无解，如果存在一个数$i$，使$i^{2}=-1$，那么$x^{2}=i^{2}$，则$x=\pm i$，从而$x=\pm i$是方程$x^{2}=-1$的两个根.
(1)据此可知：$i^{3}=i^{2}· i=-i$，$i^{4}=$__________，$i^{42}=$__________.
(2)解方程：$x^{2}-2x + 2 = 0$.（根用$i$表示）

答案： 18.解：
(1)1 -1
(2)$x^2 - 2x + 1 = -1$，$(x - 1)^2 = -1$，$x - 1 = \pm i$，$x = 1 \pm i$，$x_1= 1 + i$，$x_2 = 1 - i$。