《2025年课时练作业与测评九年级数学上册冀教版》

23. （10 分）某商场以每件 280 元的价格购进一批商品，当每件商品售价为 360 元时，每月可售出 60 件. 为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价 1 元，那么商场每月就可以多售出 5 件.
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
（3）该商场 1 月份销售量为 60 件，2 月和 3 月的月平均增长率为 $ x $，若前三个月的总销量为 285 件，求该季度的总利润.

答案： 23.解：
(1)根据题意得$(360 - 280) × 60 = 4800$（元）。
答：降价前商场每月销售该商品的利润是$4800$元。
(2)设每件商品降价$m$元，则每件的销售利润为$(360 - m - 280)$元，每月可售出$(60 + 5m)$件。
根据题意得$(360 - m - 280)(60 + 5m) = 7200$，
整理得$m^2 - 68m + 480 = 0$，解得$m_1 = 8$，$m_2 = 60$。
$\because$要有利于减少库存，$\therefore m = 60$。
答：每件商品应降价$60$元。
(3)根据题意得$60 + 60(1 + x) + 60(1 + x)^2 = 285$，
整理得$4x^2 + 12x - 7 = 0$，
解得$x_1 = 0.5 = 50\%$，$x_2 = -3.5$（不符合题意，舍去），
$\therefore 60(1 + x) = 60 × (1 + 50\%) = 90$（件），
$60(1 + x)^2 = 60 × (1 + 50\%)^2 = 135$（件），
$\therefore 2$月份这种商品的售价为$360 - \frac{90 - 60}{5} = 354$（元），
$3$月份这种商品的售价为$360 - \frac{135 - 60}{5} = 345$（元），
$\therefore$该季度的总利润为$(360 - 280) × 60 + (354 - 280) × 90 + (345 - 280) × 135 = 20235$（元）。
答：该季度的总利润为$20235$元。

24. （12 分）如图 C - 24 - 2 所示，四边形 $ ABCD $ 为矩形，$ AB = 6cm $，$ AD = 4cm $，点 $ Q $ 从 $ A $ 点出发沿 $ AD $ 以 $ 1cm/s $ 的速度向 $ D $ 运动，$ P $ 从 $ B $ 点出发沿 $ BA $ 以 $ 2cm/s $ 的速度向 $ A $ 运动，如果 $ P,Q $ 同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止. 设运动的时间为 $ t(s) $.
（1）当 $ t $ 为何值时，$ \triangle PAQ $ 为等腰三角形？
（2）当 $ t $ 为何值时，$ \triangle APD $ 的面积为 $ 6cm^{2} $？
（3）五边形 $ PBCDQ $ 的面积能否达到 $ 20cm^{2} $？若能，请求出 $ t $ 的值；若不能，请说明理由.
（4）当 $ t $ 为何值时，$ P,Q $ 两点之间的距离为 $ 2\sqrt{5}cm $？
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答案： 24.解：
(1)根据题意得，$AQ = t cm$，$BP = 2t cm$，$AP = (6 - 2t)cm$。
$\because \triangle PAQ$为等腰三角形，$\angle A = 90^{\circ}$，
$\therefore AQ = AP$，即$t = 6 - 2t$，解得$t = 2$，
$\therefore$当$t = 2$时，$\triangle PAQ$为等腰三角形。
(2)$\because S_{\triangle APD} = \frac{1}{2}AD · AP = \frac{1}{2} × 4 × (6 - 2t)$
$=(12 - 4t)(cm^2)$，
$\therefore 12 - 4t = 6$，解得$t = \frac{3}{2}$，
$\therefore$当$t = \frac{3}{2}$时，$\triangle APD$的面积为$6cm^2$。
(3)不能.理由如下：$\because S_{五边形PBCDQ} = S_{矩形ABCD} - S_{\triangle APQ} = 6 × 4 - \frac{1}{2}t(6 - 2t) = (24 - 3t + t^2)(cm^2)$，
$\therefore 24 - 3t + t^2 = 20$，整理得$t^2 - 3t + 4 = 0$。
$\because \Delta = (-3)^2 - 4 × 1 × 4 = -7 ＜ 0$，$\therefore$该方程没有实数根，
$\therefore$五边形$PBCDQ$的面积不能达到$20cm^2$。
(4)在$Rt \triangle APQ$中，$PQ = \sqrt{AP^2 + AQ^2} = \sqrt{(6 - 2t)^2 + t^2}$，
根据题意得$\sqrt{(6 - 2t)^2 + t^2} = 2\sqrt{5}$，
$\therefore 5t^2 - 24t + 16 = 0$，解得$t_1 = 4$，$t_2 = \frac{4}{5}$
$\because 6 ÷ 2 = 3$，$4 ÷ 1 = 4$，
$\therefore 0 \leq t \leq 3$，$\therefore t = \frac{4}{5}$。