《2025年课时练作业与测评九年级数学上册冀教版》

21. 数学归纳（9 分）规律探究与猜想：
①方程 $ x^{2}-3x + 2=0 $ 的解为 $ x_{1}=1,x_{2}=2 $；
②方程 $ x^{2}-5x + 6=0 $ 的解为 $ x_{1}=2,x_{2}=3 $；
③方程 $ x^{2}-7x + 12=0 $ 的解为 $ x_{1}=3,x_{2}=4 $；
④方程 $ x^{2}-9x + 20=0 $ 的解为 $ x_{1}=4,x_{2}=5 $；
…
（1）请根据以上各方程及其解的特征，解答下列问题：
①方程 $ x^{2}-19x + 90=0 $ 的解为___；
②第 $ n $ 个方程为___，其解为___.
（2）请用公式法解方程 $ x^{2}-9x + 20=0 $，验证猜想结论的正确性.

答案： 21.解：
(1)①$x_1 = 9,x_2 = 10$
②$x^2 - (2n + 1)x + n(n + 1) = 0$ $x_1 = n,x_2 = n + 1$
(2)$x^2 - 9x + 20 = 0$，
$\because a = 1,b = -9,c = 20$，
$\therefore \Delta = (-9)^2 - 4 × 1 × 20 = 1 ＞ 0$，
$\therefore x = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{2 × 1} = \frac{9 \pm 1}{2}$，
$\therefore x_1 = 4,x_2 = 5$。

22. （9 分）问题：
已知方程 $ x^{2}+x - 1=0 $，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍.
解：设所求方程的根为 $ y $，则 $ y = 2x $，
所以 $ x=\frac{y}{2} $.
把 $ x=\frac{y}{2} $ 代入已知方程，得 $ (\frac{y}{2})^{2}+\frac{y}{2}-1=0 $.
化简，得 $ y^{2}+2y - 4=0 $.
故所求方程为 $ y^{2}+2y - 4=0 $.
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”. 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）.
（1）已知方程 $ x^{2}+x - 2=0 $，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数.
（2）已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c=0(a \neq 0) $ 有两个不等于 0 的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.

答案： 22.解：
(1)设所求方程的根为$y$，则$y = -x$，所以$x = -y$。
把$x = -y$代入已知方程$x^2 + x - 2 = 0$，
得$(-y)^2 + (-y) - 2 = 0$。
化简，得$y^2 - y - 2 = 0$。故所求方程为$y^2 - y - 2 = 0$。
(2)设所求方程的根为$y$，则$y = \frac{1}{x}$，所以$x = \frac{1}{y}$。
把$x = \frac{1}{y}$代入方程$ax^2 + bx + c = 0$，
得$a(\frac{1}{y})^2 + b · \frac{1}{y} + c = 0$。
去分母，得$a + by + cy^2 = 0$。
因为所求方程为一元二次方程，
所以$c \neq 0$，故所求方程为$cy^2 + by + a = 0(c \neq 0)$。