《2025年课时练作业与测评九年级数学上册冀教版》

10. 在平面直角坐标系$xOy$中，对于不在坐标轴上的任意一点$P(x,y)$，我们把点$P'(\frac{1}{x},\frac{1}{y})$称为点$P$的“倒影点”，直线$y = - x + 1$上有两点$A$，$B$，它们的倒影点$A'$，$B'$均在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像上。若$AB = 2\sqrt{2}$，则$k=$______。

答案： $10.-\frac{4}{3}$

11. 如图 Z - 4 - 5 所示，一次函数$y = x - 1$的图像与反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图像在第一象限相交于点$A$，与$x$轴相交于点$B$，点$C$在$y$轴上，若$AC = BC$，则点$C$的坐标为______。

答案： 11.(0,2)

12. 如图 Z - 4 - 6 所示，过点$O$的直线$AB$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像交于$A$，$B$两点，$A(2,1)$，直线$BC// y$轴，与反比例函数$y=\frac{-3k}{x}(x＜0)$的图像交于点$C$，连接$AC$，则$\triangle ABC$的面积为______。

答案： 12.8

13. 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像过点$A(3,1)$。
(1) 求反比例函数的表达式。
(2) 若一次函数$y = ax + 6$（$a\neq0$）的图像与反比例函数的图像只有一个交点，求一次函数的表达式。

答案： 13.解：
(1)
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像过点A(3,1)，
∴k=3，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}。$
(2)联立$\begin{cases}y=\frac{3}{x},\\y=ax+6,\end{cases}$得$ax^{2}+6x-3=0.$
∵一次函数$y=ax+6(a\neq0)$的图像与反比例函数的图像只有一个交点，
∴$\Delta=36+12a=0，$
∴a=-3，
∴一次函数的表达式为y=-3x+6.

14. 如图 Z - 4 - 7 所示，一次函数$y = ax + b$的图像与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像交于$C$，$D$两点，与$x$，$y$轴交于$B$，$A$两点，且$\tan\angle ABO=\frac{1}{2}$，$OB = 4$，$OE = 2$。
(1) 求一次函数的表达式和反比例函数的表达式。
(2) 求$\triangle OCD$的面积。
(3) 根据图像直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量$x$的取值范围。

答案： 14.解：
(1)
∵OB=4，OE=2，
∴BE=2+4=6.
∵CE⊥x轴于点$E,tan∠ABO=\frac{OA}{OB}=\frac{CE}{BE}=\frac{1}{2}，$
∴OA=2,CE=3.
∴点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(-2,3).
∵一次函数y=ax+b的图像与x,y轴交于B,A两点，
∴$\begin{cases}4a+b=0,\\b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2},\\b=2.\end{cases}$
故一次函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}x+2.$
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像过点C，
∴$3=\frac{k}{-2}，$
∴k=-6.
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}$
(2)联立直线AB的表达式和反比例函数的表达式可得
$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+2,\\y=-\frac{6}{x},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=6,\\y=-1\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2,\\y=3.\end{cases}$
∴点D的坐标为(6,-1),则△BOD的面积$=\frac{1}{2}×4×1$
=2,△BOC的面积$=\frac{1}{2}×4×3=6，$
故△OCD的面积为2+6=8.
(3)由图像得，一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是x＜-2或0＜x＜6.