《2025年课时练作业与测评九年级数学上册冀教版》

19. （8分）如图C-25-13，在$\triangle ABC$中，$\angle B = 2\angle A$，利用尺规作图法在边AC上求作一点D，使得$\triangle BDC\backsim\triangle ABC$.（不写作法，保留作图痕迹）

答案：
【解】如图D-25-10所示，点$D$为所求.

20. （8分）如图C-25-14，点D，F是$\triangle ABC$的AB边上的两点，满足$AD^{2}=AF· AB$，连接CD，过点F作$EF// DC$，交边AC于E，连接DE.
（1）求证：$DE// BC$.
（2）若$\triangle DBC$的面积为3，$\triangle DEC$的面积为2，求$\triangle ABC$的面积.

答案：
(1)证明：$\because AD^{2} = AF · AB$，$\therefore\frac{AD}{AF} = \frac{AB}{AD}$.
$\because EF // DC$，$\therefore\frac{AD}{AF} = \frac{AC}{AE}$，
$\therefore\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$，$\therefore DE // BC$.
(2)解：$\because DE // BC,\triangle DBC$的面积为3，$\triangle DEC$的面积为2，$\therefore \triangle ADE \backsim \triangle ABC$，$\frac{DE}{BC} = \frac{2}{3}$，
$\therefore \frac{\triangle ADE的面积}{\triangle ABC的面积} = (\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}$，即$\frac{\triangle ABC的面积 - 3 - 2}{\triangle ABC的面积} = \frac{4}{9}$，$\therefore \triangle ABC$的面积为9.

21. （9分）如图C-25-15，在平面直角坐标系中，已知$OA = 12cm$，$OB = 6cm$.点P从点O开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动.如果P，Q同时出发，用$t(s)$表示移动的时间$(0\leq t\leq6)$，那么当t为何值时，$\triangle POQ$与$\triangle AOB$相似？

答案： 解：由题意得$OP = t cm,OQ = OB - BQ = (6 - t)cm$.
①当$\triangle POQ \backsim \triangle AOB$时，$\frac{OP}{OA} = \frac{OQ}{OB}$，即$\frac{t}{12} = \frac{6 - t}{6}$
整理，得$12 - 2t = t$，解得$t = 4$.
②当$\triangle POQ \backsim \triangle BOA$时，$\frac{OP}{OB} = \frac{OQ}{OA}$，即$\frac{t}{6} = \frac{6 - t}{12}$
整理，得$6 - t = 2t$，解得$t = 2$.
$\because 0 \leq t \leq 6$，
$\therefore t = 4$和$t = 2$均符合题意，
$\therefore$当$t = 4$或$t = 2$时，$\triangle POQ$与$\triangle AOB$相似.

22. （9分）如图C-25-16，在四边形ABCD中，$AD// BC$，$AB\perp BC$，点E在AB上，$\angle DEC = 90^{\circ}$.
（1）求证：$\triangle ADE\backsim\triangle BEC$.
（2）若$AD = 1$，$BC = 3$，$AE = 2$，求AB的长.

答案：
(1)证明：$\because AD // BC,AB \bot BC$，$\therefore AB \bot AD$，
$\therefore \angle A = \angle B = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle ADE + \angle AED = 90^{\circ}$.
$\because \angle DEC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle AED + \angle BEC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle ADE = \angle BEC$，
$\therefore \triangle ADE \backsim \triangle BEC$.
(2)解：$\because \triangle ADE \backsim \triangle BEC$，
$\therefore \frac{AD}{BE} = \frac{AE}{BC}$，即$\frac{1}{BE} = \frac{2}{3}$，
$\therefore BE = \frac{3}{2}$，$\therefore AB = AE + BE = \frac{7}{2}$.