《2025年课时练作业与测评九年级数学上册冀教版》

20. （8 分）$\triangle ABC$的位置如图 C-Z-6 所示，按下列操作完成作图：延长 AB 到点 D，延长 AC 到点 E，使$AD=2AB$，$AE=2AC$，连接 DE，得到$\triangle ADE$。$\triangle ADE$和$\triangle ABC$相似吗？若相似，请说明理由，并写出相似比；若不相似，请画出与$\triangle ABC$相似的任意三角形。

答案： 20.解:作图略.相似.
　　理由:
∵AD=2AB,AE=2AC,
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AC}{AE}$=$\frac{1}{2}$.
　　又
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC,且相似比为2.

21. （9 分）如图 C-Z-7，在$\triangle ABC$中，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，$BA· BD=BC· BE$。
（1）求证：$\triangle BDE\backsim\triangle BCA$。
（2）如果$AE=AC$，求证：$AC^{2}=AD· AB$。

答案： 21.证明:
(1)
∵BA·BD=BC·BE,
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BE}{BA}$.
　　又
∵∠B=∠B,
∴△BDE∽△BCA.
(2)
∵BA·BD=BC·BE,
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BC}{BA}$.
　　又
∵∠B=∠B,
∴△BAE∽△BCD,
∴∠BAE=∠BCD.
∵AE=AC,
∴∠AEC=∠ACE.
∵∠AEC=∠B+∠BAE,∠ACE=∠ACD+∠BCD,
∴∠B=∠ACD.
　　又
∵∠BAC=∠CAD,
∴△ADC∽△ACB,
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$,
∴AC²=AD·AB.