《2025年课时练作业与测评九年级数学上册冀教版》

13. 一元二次方程 $ (x + 6)^{2}=5 $ 可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是 $ x + 6=\sqrt{5} $，则另一个一次方程是___.

答案： 13.$x + 6 = - \sqrt{5}$

14. 方程 $ 3x(x - 1)=2(x - 1) $ 的根为___.

答案： 14.$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$

15. 如果一个正多边形共有 14 条对角线，那么这个多边形的边数是___.

答案： 15.7

16. 新定义试题 对于两个不相等的实数 $ a,b $，我们规定符号 $ \min\{a,b\} $ 表示 $ a,b $ 中的较小值，如：$ \min\{2,-3\}=-3 $. 按照这个规定，方程 $ \min\{x,x - 1\}=x^{2}-3 $ 的解为___.

答案： 16.$x_1 = 2,x_2 = -1$

17. （8 分）解下列方程：
（1）$ (x - 3)(x - 1)=3 $.
（2）$ x^{2}+4x - 1=0 $.

答案： 17.解：
(1)方程可化为$x^2 - 4x = 0$，$x(x - 4) = 0$，
$\therefore x_1 = 0,x_2 = 4$。
(2)$\because x^2 + 4x - 1 = 0$，$\therefore x^2 + 4x = 1$，
$\therefore x^2 + 4x + 4 = 1 + 4$，$\therefore(x + 2)^2 = 5$，
$\therefore x_1 = -2 + \sqrt{5}$，$x_2 = -2 - \sqrt{5}$。

18. （8 分）若关于 $ x $ 的方程 $ (a - 3)x^{a^{2}-5a + 8}+(a - 2)x + 5=0 $ 是一元二次方程，试求 $ a $ 的值和方程的解.

答案： 18.解：由题意得$a^2 - 5a + 8 = 2$且$a - 3 \neq 0$，
解得$a = 2$，则关于$x$的方程为$-x^2 + 5 = 0$，
解得$x = \pm \sqrt{5}$。
故$a$的值为$2$，方程的解为$x = \pm \sqrt{5}$。

19. 方法探索（8 分）多项式乘法：$ (x + a)(x + b)=x^{2}+(a + b)x + ab $，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：$ x^{2}+(a + b)x + ab=(x + a)(x + b) $.
【示例】分解因式：$ x^{2}+5x + 6=x^{2}+(2 + 3)x + 2×3=(x + 2)(x + 3) $.
（1）【尝试】
分解因式：$ x^{2}+6x + 8=(x + $___$ )(x + $___$ ) $.
（2）【应用】
请用上述方法解方程：$ x^{2}-3x - 4=0 $.

答案： 19.解：
(1)$x^2 + 6x + 8 = x^2 + (2 + 4)x + 2 × 4 = (x + 2)(x + 4)$。
故答案为$2,4$。
(2)$\because x^2 - 3x - 4 = 0$，
$\therefore x^2 + (-4 + 1)x + (-4) × 1 = 0$，$\therefore(x - 4)(x + 1) = 0$，
$\therefore x + 1 = 0$或$x - 4 = 0$，解得$x = -1$或$x = 4$。

20. （8 分）已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(k + 3)x + 2k + 2=0 $.
（1）求证：方程总有两个实数根.
（2）若方程有一个根小于 1，求 $ k $ 的取值范围.

答案： 20.
(1)证明：$\because$在方程$x^2 - (k + 3)x + 2k + 2 = 0$中，
$\Delta = [-(k + 3)]^2 - 4(2k + 2) = k^2 - 2k + 1$
$=(k - 1)^2 \geq 0$，
$\therefore$方程总有两个实数根。
(2)解：$\because x^2 - (k + 3)x + 2k + 2 = (x - 2)(x - k - 1) = 0$，
$\therefore x_1 = 2,x_2 = k + 1$。
$\because$方程有一个根小于$1$，
$\therefore k + 1 ＜ 1$，解得$k ＜ 0$，
$\therefore k$的取值范围为$k ＜ 0$。