《2025年课时练作业与测评九年级数学上册冀教版》

1. 已知矩形 $ABCD$ 中，$AB = 4$，$BC = 3$，下列四个矩形中与矩形 $ABCD$ 相似的是( )

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答案： 1.A

2. 图 $25 - 7 - 1$ 中两个四边形相似，则$\angle\alpha$的度数是( )

A.$87^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$75^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

答案： 2.A

3. 如果两个相似多边形的面积比为 $4:9$，那么它们的周长比为( )

A.$4:9$
B.$2:3$
C.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
D.$16:81$

答案： 3.B

4. 一个四边形的各边之比为 $1:2:3:4$，和它相似的另一个四边形的最小边长为 $5\mathrm{cm}$，则另一个四边形的最大边长为( )

A.$10\mathrm{cm}$
B.$15\mathrm{cm}$
C.$20\mathrm{cm}$
D.$25\mathrm{cm}$

答案： 4.C

5. 沿一张矩形纸片中较长两边的中点将纸片折叠，所得的两个矩形仍然与原来的矩形相似，则原矩形纸片的长、宽之比是______。

答案： 5.$\sqrt{2}:1$

6. 情境题 一块矩形绸布的宽 $AB = a\mathrm{m}$，长 $AD = 1\mathrm{m}$，按照图 $25 - 7 - 2$ 中所示的方式将它裁成相同的 $n$ 面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么 $a$ 的值应当是______。

答案： 6.$\frac{\sqrt{n}}{n}$

7. 探究性试题 在 $AB = 30\mathrm{m}$，$AD = 20\mathrm{m}$ 的矩形花坛四周修筑小路。
(1) 如果四周的小路的宽均相等，都为 $x$，如图 $25 - 7 - 3$，那么小路四周所围成的矩形 $A'B'C'D'$ 和矩形 $ABCD$ 相似吗？请说明理由。
(2) 如果相对着的两条小路的宽均相等，宽分别为 $x$，$y$，且 $x ＜ y$，如图 $25 - 7 - 4$，试问小路的宽 $x$ 与 $y$ 的比为多少时，能使小路四周所围成的矩形 $A'B'C'D'$ 和矩形 $ABCD$ 相似？请说明理由。
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答案： 7.解：
(1)如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形$A'B'C'D'$和矩形$ABCD$不相似.
理由如下：
$\because\frac{30 + 2x}{30}=\frac{15 + x}{15}$，$\frac{20 + 2x}{20}=\frac{10 + x}{10}$，
$\therefore\frac{30 + 2x}{30}\neq\frac{20 + 2x}{20}$
$\therefore$小路四周所围成的矩形$A'B'C'D'$和矩形$ABCD$不相似.
(2)小路的宽$x$与$y$的比为$2:3$时，能使小路四周所围成的矩形$A'B'C'D'$和矩形$ABCD$相似.
理由：$\because$小路四周所围成的矩形$A'B'C'D'$和矩形$ABCD$相似，
$\therefore\frac{30 + 2y}{30}=\frac{20 + 2x}{20}$，
$\therefore x:y = 2:3$.
故小路的宽$x$与$y$的比为$2:3$时，能使小路四周所围成的矩形$A'B'C'D'$和矩形$ABCD$相似.